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考点14函数的零点与方程的解（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解．

【知识点】

1．函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有?函数y＝f(x)的图象与有公共点．

(3)函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y＝f(x)在区间内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

常用结论

1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．

2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号

【核心题型】

题型一函数零点所在区间的判定

确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

【例题1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程的两根为，，则（????）

A．， B．

C． D．

【变式1】（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（????）

A． B． C． D．

【变式2】（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数零点所在的一个区间.

题型二函数零点个数的判定

求解函数零点个数的基本方法

(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；

(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．

【例题2】（2024·天津·二模）已知函数，关于有下面四个说法：

的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；

在区间上单调递增；

当时，的取值范围为；

在区间上有个零点．

以上四个说法中，正确的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式2】．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为.

【变式3】（2024·北京西城·一模）关于函数，给出下列三个命题：

①是周期函数；

②曲线关于直线对称；

③在区间上恰有3个零点．

其中真命题的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

题型三函数零点的应用

根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.

命题点1根据零点个数求参数

【例题3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数），则下列结论正确的是（????）

A．，使函数恰有1个零点

B．，使函数恰有3个零点

C．，函数都有零点

D．若函数有2个零点，则实数的取值范围为

【变式1】（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是.

【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程在上有两个不同的根，则a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中.

(1)求证：是奇函数；

(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.

命题点2根据函数零点的范围求参数

【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，且在区间上只有1个零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，