考点06函数的概念及其表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）(有解析）.docxVIP

考点06函数的概念及其表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．

【知识点】

1．函数的概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

4．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

常用结论

1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．

2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．

3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

【核心题型】

题型一函数的定义域

(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；

(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．

【例题1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求解集合，再求即可.

【详解】因为的定义域为，所以，

由得，解得，所以，

故，

故选：B．

【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.

【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，

则有，解得或，

所以函数的定义域是.

故选：C

【变式2】（2024·全国·模拟预测）若集合，，则集合的真子集的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】先求集合A，确定即可求解.

【详解】因为，，所以，

所以集合的真子集的个数为.

故选:D.

【变式3】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（?????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，则，可得，

所以，函数的定义域为，

对于函数，则有，解得，

因此，函数的定义域为.

故选：C.

题型二函数的解析式

函数解析式的求法

(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．

【例题2】（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（????）

A．B． C． D．

【答案】B

【分析】利用换元法令，运算求解即可.

【详解】令，则，且，则，

可得，

所以.

故选：B.

【变式1】（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则.

【答案】

【分析】先把x都化为2x，进行化简得到，再把x替换为得到，最后联立方程组求解即可.

【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故.

故答案为：.

【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式．

【答案】

【分析】由二次函数性质与待定系数法求解．

【详解】解：根据题意设，

又过点，则

解得，

故

【变式3】（2024·山东济南·一模）已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是.（写出一个满足条件的函数解析式即可）

【答案】（满足，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）

【分析】根据，求得，则满足的一次函数或二次函数均可.

【详解】，，

，，

，，

所以，则的解析式可以为.

经检验，满足题意.

故答案为：（答案不唯一）.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.

题型三分段函数

分段函数求值问题的解题思路

(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

【例题3】（2024·四川广安·二模）已知函数，则的值