2026版创新设计高考总复习数学人教A版题库-第七章　§7.2　球的切、接问题.docxVIP

§7.2球的切、接问题

重点解读与球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力．其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决．

一、正方体与球

1．内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a.

2．棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长eq\r(2)a.

3．外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长eq\r(3)a.

二、长方体与球

外接球：外接球直径2R＝体对角线长eq\r(a2＋b2＋c2)(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)．

三、正棱锥与球

1．内切球：V正棱锥＝eq\f(1,3)S表·r＝eq\f(1,3)S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高．

2．外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h)．

四、正四面体的外接球、内切球

若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝eq\f(\r(6),3)a，R＝eq\f(\r(6),4)a，r＝eq\f(\r(6),12)a，R∶r＝3∶1.

五、正三棱柱的外接球

球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心．R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h柱,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)AD))2.

六、圆柱的外接球

R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2)(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径)．

七、圆锥的外接球

R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)．

题型一外接球

命题点1定义法

例1(1)(2023·茂名模拟)已知菱形ABCD的各边长为2，∠B＝60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P－ACD，如图所示，当三棱锥P－ACD的表面积最大时，三棱锥P－ACD的外接球体积为()

A.eq\f(5\r(2)π,3) B.eq\f(4\r(3)π,3)

C．2eq\r(3)π D.eq\f(8\r(2)π,3)

答案D

解析由题意可得，△ACD，△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD，△PCD为全等的等腰三角形，

则三棱锥P－ACD的表面积

S＝2S△ACD＋2S△PCD＝2×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＋2×eq\f(1,2)×2×2sin∠PCD＝2eq\r(3)＋4sin∠PCD≤2eq\r(3)＋4，

当且仅当sin∠PCD＝1，即PC⊥CD时，三棱锥P－ACD的表面积取最大值，

此时△PAD，△PCD为直角三角形，

PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝2eq\r(2)，

取PD的中点O，连接OA，OC，由直角三角形的性质可得OA＝OC＝OD＝OP＝eq\r(2)，

即三棱锥P－ACD的外接球的球心为O，

半径R＝eq\r(2)，

故外接球体积V＝eq\f(4,3)π×(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3).

(2)(2023·韶关模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，则此球的体积为________．

答案eq\f(8\r(2),3)π

解析设△ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为O，

底面△ABC为直角三角形，故其外接圆圆心D在斜边中点处，则r＝1，

又OD＝eq\f(1,2)AA1＝1，在Rt△OCD中，

R＝eq\r(r2＋12)＝eq\r(2)，V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2),3)π.

思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．

跟踪训练1某建筑的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个实心模型，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上，则此模型的体积为________cm3.

答案912π

解析由题意，设球心为O，模型内层圆柱底面的圆心为O1，模型外层圆柱底面的圆心为O2，点A，B分别在圆O1，O2上，如图，连接AO，BO，AO1，BO2，OO1，则O2在OO1上，

因为AO＝BO＝10cm，AO1＝6cm