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2025高考数学全国乙卷练习题试卷+解析及答案

一、选择题（每题5分，共35分）

1.已知函数$f(x)=\ln(x+1)x$，则下列结论正确的是（）

A.函数$f(x)$在$x=0$处取得最大值

B.函数$f(x)$在$x=0$处取得最小值

C.函数$f(x)$在$x=0$处取得极大值

D.函数$f(x)$在$x=0$处取得极小值

解析：求导得到$f(x)=\frac{1}{x+1}1=\frac{x}{x+1}$。当$x0$时，$f(x)0$，函数单调递增；当$x0$时，$f(x)0$，函数单调递减。所以函数在$x=0$处取得极大值。选C。

2.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=10$，$a_3=4$，则该数列的公差为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。因为$S_5=10$，$a_3=4$，所以$10=\frac{5(a_1+a_5)}{2}$，又因为$a_3=a_1+2d$，$a_5=a_1+4d$，代入$a_3=4$得到$a_1+4d=a_1+8d4$，解得$d=1$。选A。

3.已知函数$g(x)=x^33x+1$，则下列结论正确的是（）

A.函数$g(x)$在$x=1$处取得极大值

B.函数$g(x)$在$x=1$处取得极小值

C.函数$g(x)$在$x=1$处取得极大值

D.函数$g(x)$在$x=1$处取得极小值

解析：求导得到$g(x)=3x^23$。令$g(x)=0$，解得$x=\pm1$。当$x1$时，$g(x)0$，函数单调递减；当$1x1$时，$g(x)0$，函数单调递增；当$x1$时，$g(x)0$，函数单调递增。所以函数在$x=1$处取得极小值。选D。

4.若函数$h(x)=x^22x+k$（$k$为常数）的图像上存在点$P$，使得$P$处的切线斜率为1，则$k$的取值范围是（）

A.$k\geq1$

B.$k\leq1$

C.$k\geq0$

D.$k\leq0$

解析：求导得到$h(x)=2x2$。因为切线斜率为1，所以$2x2=1$，解得$x=\frac{3}{2}$。将$x=\frac{3}{2}$代入$h(x)$得到$k=\left(\frac{3}{2}\right)^22\cdot\frac{3}{2}+k=0$。所以$k\geq0$。选C。

5.已知$f(x)=x^2+ax+b$（$a$、$b$为常数）的图像上存在两个不同的点$A$、$B$，使得$A$、$B$处的切线斜率相等，则$a$的取值范围是（）

A.$a\geq2$

B.$a\leq2$

C.$a\geq2$

D.$a\leq2$

解析：求导得到$f(x)=2x+a$。因为两个不同点处的切线斜率相等，所以$2x_1+a=2x_2+a$，即$x_1=x_2$。因为$A$、$B$是两个不同的点，所以$a$必须小于等于0，否则$f(x)$的图像为上凸的抛物线，不存在两个不同点处的切线斜率相等。选D。

6.已知函数$y=\frac{1}{x^2+1}$在$x$轴上的一个交点为$P$，则$P$点的横坐标为（）

A.0

B.1

C.1

D.无解

解析：令$y=0$，则$\frac{1}{x^2+1}=0$。因为分母不可能为0，所以方程无解。选D。

7.已知$f(x)=x^24x+c$（$c$为常数）的图像上存在一个点$Q$，使得$Q$点的切线斜率为2，则$c$的取值范围是（）

A.$c\geq0$

B.$c\leq0$

C.$c\geq4$

D.$c\leq4$

解析：求导得到$f(x)=2x4$。因为切线斜率为2，所以$2x4=2$，解得$x=3$。将$x=3$代入$f(x)$得到$c=3^24\cdot3+c=0$。所以$c\geq4$。选C。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.若等比数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，且$T_3=14$，$b_2=4$，则该数列的首项为______。

答案：2

解析：等比数列的前$n$项和公式为$T_n=\frac{b_1(1q^n)}{1q}$。因为$T_3=14$，$b_2=4$，所以$14=\frac{b_1(1q^3)}{1q}$，$b_2=b_1q$。代入$b_2=4$得到$b_1q=4$，$b_1+b_1q+b_1q^2=14$，解得$b_1=2$，$q=2$。

2.若函数$y=\ln(x^2+1)$的图像上存在点$M$，使得$M$处的切线斜率为1，则$M$点的横坐标为______。

答案：0