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2025高考数学全国甲卷练习题试卷+解析及答案
一、选择题(每题5分,共40分)
1.设集合A={x|1≤x≤4},B={x|x≤2或x≥3},则A∩B等于:
A.(∞,2)∪[3,4]
B.[1,3)
C.[1,4]
D.(∞,2)∪[3,+∞)
解析:集合A表示1到4之间的实数,集合B表示小于等于2或者大于等于3的实数。两者交集为1到3之间的实数,即[1,3)。
答案:B
2.函数f(x)=x^22x+1的最小值是:
A.0
B.1
C.1
D.2
解析:函数f(x)是一个开口向上的二次函数,顶点坐标为(1,0),因此最小值为0。
答案:A
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=12,S6=36,则该数列的公差d等于:
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:根据等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d),列出方程组:
S3=3/2(2a1+2d)=12
S6=6/2(2a1+5d)=36
解得d=3。
答案:B
4.若三角形ABC的面积为12,且AB=4,BC=6,AC=8,则角B的度数是:
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析:根据海伦公式,三角形面积S=√(p(pa)(pb)(pc)),其中p=(a+b+c)/2。代入数据得:
12=√(10(104)(106)(108))
解得角B的度数为60°。
答案:C
5.设函数f(x)=x^33x+1,则方程f(x)=0在区间(0,3)内有两个实根的充分必要条件是:
A.f(0)f(3)0
B.f(0)f(3)0
C.f(0)f(3)=0
D.f(0)f(3)≥0
解析:根据零点定理,如果函数在区间两端点的函数值异号,则该区间内至少有一个零点。因此,要使方程在(0,3)内有两个实根,f(0)f(3)应小于0。
答案:A
6.已知函数g(x)=x^22x+1/x^2+2x+1,求g(x)的值域。
解析:将函数g(x)分解为两个部分:
g(x)=(x^22x+1)/(x^2+2x+1)=14/(x^2+2x+1)
由于分母(x^2+2x+1)恒大于0,故g(x)的值域为(3,1)。
答案:(3,1)
7.已知直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相切,求k的取值范围。
解析:圆的半径为1,圆心在原点。直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径,即:
|k0+10+1|/√(k^2+1^2)=1
解得k的取值范围为[√3,√3]。
答案:[√3,√3]
8.若a,b,c是等比数列,且a+b+c=14,a^2+bc=48,求a的值。
解析:设等比数列的公比为q,则:
a+b+c=a(1+q+q^2)=14
a^2+bc=a^2q^2+abq=a^2q^2+a^2q=48
解得a=4。
答案:4
二、填空题(每题5分,共40分)
1.已知函数f(x)=x^33x^2+x+1,求f(x)的单调增区间。
解析:求导数f(x)=3x^26x+1,令f(x)0,解得x的取值范围为(∞,1)∪(2,+∞)。
答案:(∞,1)∪(2,+∞)
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=16,S8=64,求该数列的首项a1。
解析:根据等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d),列出方程组:
S4=4/2(2a1+3d)=16
S8=8/2(2a1+7d)=64
解得a1=2。
答案:2
3.在三角形ABC中,BC=6,AC=8,AB=10,求三角形ABC的面积。
解析:由题意知,三角形ABC是一个直角三角形,面积S=1/2BCAC=24。
答案:24
4.若函数f(x)=x^2+2x+k在区间(0,1)内有两个不同的实根,求k的取值范围。
解析:根据韦达定理,f(x)的两个实根之和为2,两个实根之积为k。由于f(x)在区间(0,1)内有两个不同的实根,故k的取值范围为(0,1)。
答案:(0,1)
5.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切,求k的取值范围。
解析:圆的半径为2,圆心在原点。直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径,即:
|k0+10+1|/√(k^2+1^2)
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