散度旋度曲线积分.pptVIP

例：计算其中?由平面y=z截球面提示:因在?上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.第31页，共38页，星期日，2025年，2月5日(2)格林公式推论:正向闭L所围D的面积应用格林公式注意事项：格林公式三个条件曲线封闭性曲线正向偏导连续性加边法考虑反方向挖洞法当被积函数或积分曲线比较复杂时考虑用格林公式第32页，共38页，星期日，2025年，2月5日散度旋度曲线积分第1页，共38页，星期日，2025年，2月5日计算曲线型构件的质心第二类曲线积分的计算格林公式曲线积分与路径无关的条件解全微分方程第一类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算高斯公式各类积分的几何、物理背景第2页，共38页，星期日，2025年，2月5日三、向量场的散度设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设?为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面?的流量为则由对坐标的曲面积分的物第3页，共38页，星期日，2025年，2月5日若?为方向向外的闭曲面,当?0时,说明流入?的流体质量少于当?0时,说明流入?的流体质量多于流出的,则单位时间通过?的流量为当?=0时,说明流入与流出?的流体质量相等.流出的,表明?内有源（正源）;表明?内有洞（负源）;注：反映了?内源的性质和强度第4页，共38页，星期日，2025年，2月5日定义:设有向量场divergenceM(x,y,z)为场内一点称此极限值为向量场A在点M的散度，记为方向向外的任一闭曲面,记?所围域为?,?是包含点M且?的体积为V,如果极限存在第5页，共38页，星期日，2025年，2月5日表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A处处有,则称A为无源场.例如,匀速场故它是无源场.注:散度是通量对体积的变化率,且第6页，共38页，星期日，2025年，2月5日定理:设有向量场其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,则证：第7页，共38页，星期日，2025年，2月5日注：1．高斯公式：2．性质第8页，共38页，星期日，2025年，2月5日例.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为解:计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.第9页，共38页，星期日，2025年，2月5日第七节斯托克斯公式与旋度个空间域内具有连续一阶偏导数,?的侧与?的正向符合右手法则,在包含?在内的一第10页，共38页，星期日，2025年，2月5日例.?为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设?为平面z=y上被?所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦第11页，共38页，星期日，2025年，2月5日二、空间曲线积分与路径无关的条件定理.设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑曲线?,与路径无关(2)在G内存在某一函数u,使(3)在G内处处有(4)对G内任一分段光滑闭曲线?,有第12页，共38页，星期日，2025年，2月5日与路径无关,并求函数解:令?积分与路径无关,因此例.验证曲线积分第13页，共38页，星期日，2025年，2月5日三、环流量与旋度曲线L的单位切向量为称为向量场A定义:沿有向闭曲线?的环量.环量密度:第14页，共38页，星期日，2025年，2月5日rotation向量rotA称为向量场A的旋度:定理:若则向量场A产生的旋度场穿过?的通量为向量场A沿?的环流量斯托克斯公式的物理意义:第15页，共38页，星期日，2025年，2月5日的外法向量,计算解:例.设第16页，共38页，星期日，2025年，2月5日曲线积分曲面积分1.第一类曲线积分2.第二类曲线积分3.第一类曲面积分4.第二类曲面积分（曲面薄板质量）（物质曲线质量）（变力作功、环量）（通量）第十章曲线积分与曲面积分知识总结第17页，共38页，星期日，2025年，2月5日?对光滑曲线弧?对光滑曲线弧?对光滑曲线弧?对光滑曲线弧(1)利用参数方程化