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目录
第二十章曲线积分1
§20.1第一型曲线积分1
§20.2第二型曲线积分1
第二十一章重积分1
§21.1二重积分的概念1
§21.2直角坐标系下二重积分的计算1
编者:甲乙QQ1330890366第二十章曲线积分350
第二十章曲线积分
§1第一型曲线积分
起问题
根据物理常识,对于密度均匀的曲线形物体,可以如下计算质量
质量线密度曲线长度(20.1)
那么对于密度不均匀的曲线形物体呢？这就引入了曲线积分的概念.
假设在二维平面上该曲线形物体的线密度为xy,所处区域为L,那么可以仿照定积
分的意义,以弧长为研究对象,把曲线进行分割、近似求和、取极限,来计算质量
m∫Lxyds
这就是第一型曲线积分.特别的,若曲线区域为直线段,上式中的曲线积分实际上就是定
积分;若该曲线形物体的密度是均匀的,即xyk,则
m∫Lkdsk∫Ldskl
其中l为该曲线区域的长度.这也恰好应证了(20.1)式.
计算公式
设光滑曲线的参数方程为
xφt
Lt
yt
则有
∫Lfxyds∫fφtt√φ′t′tdt(20.2)
可以说这是一种换元公式,将曲线积分转化为了定积分.
这也很好理解,由勾股定理,弧长微元
ds√dxdy√φ′t′tdt
与定积分换元公式思想是类似的.
图20-1
微信公众号:数学专业考研札记
编者:甲乙QQ1330890366第二十章曲线积分350
例20.1.1
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