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数学分析

马建国

二〇二一年三月二日

前言

本书涵盖了三个学期的数学分析内容,每个学期学习三章一共九章.虽然篇

幅不大,但内容完整充实.只需要中学数学和少量线性代数(第三学期)作为预备知

识,除此之外本书是自给自足的.

数学分析理论的萌芽可以追溯到阿基米德(公元前287-212)为计算抛物线弓

形的面积而使用的穷竭法,这是使用多边形面积逼近所要计算的面积的方法,直到

现在这也是唯一可行的方法.这种方法就是积分的前身.十七世纪的牛顿(1642-

1727)和莱布尼兹(1646-1716)各自使用了微积分的思想并发现微分与积分的关

系,微积分自此诞生.经过后人特别是以欧拉(1707-1783)拉格朗日(1736-1813)为

代表的十八世纪数学家的大力推动,微积分得到了迅速的发展并在物理天文等领

域广泛使用.十九世纪的数学家柯西(1789-1857)黎曼(1826-1866)魏尔斯特拉斯

(1815-1897)等人对微积分的主要贡献是把数学的严密性注入到微积分理论,构建

成以极限和实数理论为基石的微积分大厦.这就是现在称为数学分析的这门学问

的来历.

数学的理论往往不是根据逻辑的次序有条不紊地发展的.这中间的紊乱是在

黑暗中艰难摸索的有力证据.然而讲述一套成熟的理论要从基础讲起,对于数学分

析通常是从实数理论开始.根据以往的经验,初次学习数学分析的学生渴望尽快学

到比较生动的有应用价值的内容,而对戴德金(1831-1916)和康托(1845-1918)的

实数理论显然没有做好接受的准备.因此我们没有一开始就系统介绍实数体系,仅

从数轴的直观性质出发导出确界定理柯西收敛准则等刻画实数空间本质的定理.

在第一章结尾,我们简单介绍戴德金和康托关于实数构造的理论.

数学思想的表达方式是数学的一个极其重要的组成部分.笛卡尔(1596-1650)

的坐标系使代数与几何有机地结合在一起,从而促进了数学的发展.自从牛顿和莱

布尼兹发明了微积分以后,微积分理论在欧洲大陆蓬勃发展,而英国相对滞后.有

评论说这是因为欧洲数学家得益于莱布尼兹使用的符号系统.在高斯的曲面理论之

后将近一个世纪,曲面的高维类似物–流形才在张量分析这套符号语言的推动下形

成理论.

有鉴于以上种种,本书对数学符号的使用非常慎重.在保留通用符号的前提下,

我们尝试对函数的各种极限比如单侧极限,自变量趋于正负无穷时函数的极限,函

数值趋于正负无穷的情况等给出统一的定义和记法,并在定理的叙述和证明中不增

加篇幅地涵盖多种情况.多元函数及向量值函数的表示和定义定理尽量使用一元

函数的表达形式,以使读者知道哪些是一元函数理论的简单直白的推广,哪些是有

本质的区别.

为数学分析的应用考虑,绝大多数定理给出尽可能一般的形式并有严密的证

明.例如洛必达法则,泰勒公式(单变量和多变量),逆映射定理与隐函数定理,n元

函数积分变量代换公式,格林定理等等.本书也包含数学分析教材不常有的若干内

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容.如函数的上下极限及上半连续与下半连续,处处不可微的连续函数,等周不等

式,莫尔斯引理,多元函数黎曼可积的勒贝格充要条件等等.

每节后附有难易程度不等的习题,比较困难的题目一般有提示或详细的解答.

不过希望读者不要急于看解答,因为经过一定的努力往往能获得一个可能是更好的

解法.

加星号的是选学内容,不读不影响本书其它内容的学习.建议第一次阅读此书

时跳过这些内容.

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目录

第一章极限与连续