2、华师教材重点提要（27页）.pdfVIP

目录

第二十章曲线积分1

§20.1第一型曲线积分1

§20.2第二型曲线积分1

第二十一章重积分1

§21.1二重积分的概念1

§21.2直角坐标系下二重积分的计算1

编者:甲乙QQ1330890366第一章实数集与函数350

第一章实数集与函数

§1实数

分析学的发展史

数学分析的发展由微积分开始,逐渐扩展到函数的连续性、可微性及可积性等等各种特

性,成功的运用了连续的方法近似了离散的问题.这些特性有助我们应用在对物理世界的研

究及发现自然界的规律.可以说数学与物理是密不可分的,数学的发展往往是为了满足物理

研究的需要.例如曲线积分,重积分等等都是从物理模型演变出来的理论.

历史上,数学分析起源于17世纪微积分的发明.贯穿18世纪,函数概念的定义成为了

数学家们争论的主题.到了19世纪,柯西首先通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个

稳固的逻辑基础之上.在那个世纪的中叶,黎曼引入了他的积分理论.在19世纪的最后第三

个年代魏尔斯特拉斯导入了极限的定义.此那之后数学体系变得更加严谨,与此同时

还带来了更多的数学问题.数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的

存在.戴德金用戴德金分割构造了实数.大约在那个时候,对黎曼积分定理精炼的种种尝试也

引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究,也即基数理论.

处处不连续函数,连续但到处不可微函数,空间填充曲线也被创造出来.在这个背景下,

若尔当发展了他的测度理论,康托尔发展了现在的朴素集合论,以及贝尔证明了贝尔纲定理.

在20世纪早期,微积分用公理化集合论被形式化.勒贝格解决了测度的问题,希尔伯特也导

入了希尔伯特空间以解决积分方程.赋范向量空间的思想开始流传.于是便有了现在的实复

变函数论,傅里叶分析,点集拓扑学,泛函分析等等分析学分支.

实数系的建立

数学分析大厦的地基是实数系的建立,只有地基扎实才能使得上层建筑不动摇.构造实

数系的方法有许多,最主流的是戴德金构造和康托尔构造,但不论是何种构造方法,我们最后

都能得到相同的性质.

实数的主要性质

(1)实数集对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个实数的和、

差、积、商（除数不为0)仍然是实数.

(2)实数集是有序的,即任意两实数ab必满足下述三个关系之一:ababab.

(3)实数的大小关系具有传递性,即若abbc,则有ac.

(4)实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何ab,若ba,则存在正整数

n,使得nab.

(5)实数集具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理

数也有无理数.

(6)实数集与数轴上的点有着一一对应关系.

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编者:甲乙QQ1330890366第一章实数集与函数350

§2确界原理

定义

首先引入数集的上下界定义.设S