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矩阵的基础知识点

一、矩阵的定义与表示

矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。通常用大写字母表示，如\(A\)、\(B\)等。一个\(m\timesn\)矩阵\(A\)可以表示为\(A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}a_{12}\cdotsa_{1n}\\a_{21}a_{22}\cdotsa_{2n}\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\a_{m1}a_{m2}\cdotsa_{mn}\end{array}\right]\)，其中\(a_{ij}\)表示矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(j\)列的元素。

二、矩阵的类型

1.方阵

-当矩阵的行数\(m\)等于列数\(n\)时，该矩阵称为方阵，例如\(n\timesn\)的矩阵。方阵在很多数学和实际应用中具有特殊的性质。

-对于方阵\(A\)，主对角线元素为\(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}\)。

2.行矩阵与列矩阵

-行矩阵是只有一行的矩阵，例如\(A=[a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}]\)。

-列矩阵是只有一列的矩阵，例如\(B=\left[\begin{array}{c}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{array}\right]\)。

3.零矩阵

-所有元素都为\(0\)的矩阵称为零矩阵，记为\(O\)。例如\(m\timesn\)的零矩阵\(O=\left[\begin{array}{cccc}00\cdots0\\00\cdots0\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\00\cdots0\end{array}\right]\)。

4.对角矩阵

-除主对角线元素外，其他元素都为\(0\)的方阵称为对角矩阵。例如\(n\timesn\)的对角矩阵\(D=\left[\begin{array}{cccc}d_{11}0\cdots0\\0d_{22}\cdots0\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\00\cdotsd_{nn}\end{array}\right]\)。

5.单位矩阵

-主对角线元素都为\(1\)，其余元素都为\(0\)的方阵称为单位矩阵，记为\(I\)或\(E\)。例如\(n\timesn\)的单位矩阵\(I=\left[\begin{array}{cccc}10\cdots0\\01\cdots0\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\00\cdots1\end{array}\right]\)。

三、矩阵的运算

1.矩阵的加法

-两个矩阵相加要求它们的行数和列数分别相等。设\(A=(a_{ij})\)和\(B=(b_{ij})\)都是\(m\timesn\)矩阵，则\(A+B=(a_{ij}+b_{ij})\)，即对应元素相加。例如\(A=\left[\begin{array}{cc}12\\34\end{array}\right]\)，\(B=\left[\begin{array}{cc}56\\78\end{array}\right]\)，则\(A+B=\left[\begin{array}{cc}1+52+6\\3+74+8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}68\\1012\end{array}\right]\)。

2.矩阵的减法

-类似加法，要求两个矩阵的行数和列数分别相等。\(A-B=(a_{ij}-b_{ij})\)。

3.矩阵的数乘

-设\(k\)是一个数，\(A=(a_{ij})\)是一个\(m\timesn\)矩阵，则\(kA=(ka_{ij})\)。例如\(A=\left[\begin{array}{cc}12\\34\end{array}\right]\)，\(k=2\)，则\(2A=\left[\begin{array}{cc}2\times12\times2\\2\times32\times4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}24\\68\end{array}\right]\)。

4.矩阵的乘法

-设\(A\)是一个\(m\timesp\)矩阵，\(B\)是一个\(p\timesn\)矩阵，则\(AB\)是一个\(m\timesn\)矩阵，其中\((AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}\)。例如\(A=\left[\begin{array}{cc