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一、单选题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.直线的倾斜角是
A. B. C. D.不存在
【答案】C
【解析】
【详解】依题意有:直线方程为,故倾斜角为.
2.在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点坐标是()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中点关于平面对称的知识确定正确答案.
【详解】依题意,点关于平面对称的点坐标是.
故选:A
3.若如图中的直线的斜率分别为,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.
【详解】设直线的倾斜角分别为,
则由图知,
所以,即.
故选:D.
4.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为()
A. B.
C.或 D.或
【答案】D
【解析】
【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0,截距为0则过原点;截距不为0用截距式设出方程后带点即可.
【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为:,,则
①,则直线过原点,则直线方程为:
②则,则设直线方程为:,即,则,∴直线方程为:
综上所述:该直线方程为或
故选:D
5.向量,若,且,则的值为()
A.或1 B.1 C.3或 D.3或1
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量模长坐标表示求得,再由向量垂直的坐标表示求,即可得结果.
【详解】由,则,可得,
又,则,可得,
当,则;当,则;
所以的值为或1.
故选:A
6.如图,已知大小为的二面角的棱上有两点A、B,,,,,若,,,则CD的长为()
A.67 B.49 C.7 D.
【答案】C
【解析】
【分析】过A作且,连接、,易得,通过线面垂直的判定定理可得平面,继而得到,即可求出答案.
【详解】过A作且,连接、,
则四边形是平行四边形,
因为,所以平行四边形是矩形,
因为,即,而,
则是二面角的平面角,即,
因为,即为正三角形,所以,
因为,,即,,,平面,
所以平面,因为平面,所以,
所以在中,,所以,.
故选:C.
7.皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”,对数学作出了重大贡献,其中在1636年发现了:若p是质数,且a,p互质,那么a的次方除以p的余数恒等于1,后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,则所取两个数符合费马小定理的概率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解总的取值方法共有种方法,然后求解符合题意的取值方法共有7种,从而可求概率.
【详解】从中任取2个数:
共12种方法;
符合题意的共有:共有7种,
所以所取两个数符合费马小定理的概率为.
故选:A.
8.如图所示,在棱长为2的正方体中,E为的中点,,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,,进而求出线线角的向量公式即可求出结果.
【详解】如图,以D为原点,分别以所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
因为正方体的棱长为2,则.
所以,又
所以.
故选:C.
二、多选题:(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分.)
9.下列叙述错误的是()
A.若事件发生的概率为,则
B.分层是不放回抽样,每个个体被抽到的可能性相等
C.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动,抽签决定谁去,则先抽的概率大些
D.对于任意两个事件和,都有
【答案】CD
【解析】
【分析】根据概率的性质、不放回抽样的性质,结合抽签法的性质、并事件的概率性质逐一判断即可.
【详解】A选项,根据概率的定义可得,若事件发生的概率为,则,A对,
B选项,根据系统抽样的定义得,分层抽样是不放回抽样,每个个体被抽到的可能性相等,B对,
C选项,甲、乙、丙三位选手抽到概率是,C错,
D选项,对于任意两个事件和,,
只有当事件和是互斥事件时,才有,D错,
故选:CD.
10.下列说法中,正确的是()
A.直线的一个方向向量为
B.,,三点共线
C.直线必过定点
D.经过点,倾斜角为的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直线的斜率可判断A;由可判断B;由题意可得出,即,解方程可判断C;时,直线的斜率不存在可判断D.
【详解】对于A,因为直线的斜率为,所以直线的一个方向向量为,故A错误;
对于B,,,,
所以,故B正确;
对于C,由可得:,
则,解得:,
所以直线必过定点
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