北京市2024_2025学年高二数学上学期统练四试题含解析.docxVIP

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一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确选项.）

1.已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由直线的方向向量先求出直线的斜率，再求倾斜角，从而得解.

【详解】因为直线的方向向量为，

所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，

则，，则.

故选：D.

2.已知直线，，若，则（）

A.1或2 B.0 C. D.0或

【答案】A

【解析】

【分析】利用两直线垂直的性质得到关于的方程，解之即可得解.

【详解】因为，，，

所以，解得或，

经检验，或满足题意，故或.

故选：A.

3.已知圆与圆外切，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先得到两圆的圆心和半径，再利用两圆外切得到关于的方程，解之即可得解.

【详解】因为圆的圆心为，半径为，

圆可化为，

则圆圆心为，半径为，

因两圆外切，所以，

即，解得.

故选：B.

4.圆上的动点到直线的距离的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解.

【详解】因为圆，所以其圆心，半径，

所以圆心到直线的距离，

则所求距离的最小值为.

故选：A.

5.设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程.

【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到.

展开式子化简为.

根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标.

已知，把代入可得.

因为，即.

所以线段的中点所在的直线方程为.

故选：C.

6.设，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据双曲线的方程特征求，再判断充分，必要条件.

【详解】若曲线表示焦点在轴的双曲线，则，得，

，但，

所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件.

故选：B.

7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，

，则的渐近线方程为（）

A B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的定义及已知得，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次方程，进而求渐近线.

【详解】由双曲线定义知，又，则，，

在中，，，则，

所以，可得，则，

所以的渐近线方程为.

故选：C

8.已知椭圆的左、右焦点为，，点是上一点，延长交于点，若为正三角形，且周长为12，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】运用椭圆的定义以及余弦定理逐步推导出的值.

【详解】因为为正三角形且周长为，所以正三角形的边长.

根据椭圆的定义，，.

，得.

由，所以.

在中，，，，.

根据余弦定理，

即,,,解得.

由，，，可得，所以.

故选：B.

9.如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（）

A. B. C. D.3

【答案】A

【解析】

【分析】取的中点，连接，，根据数形结合分析可知，根据，，的位置关系即可求解.

【详解】取的中点，连接，，

，，?，

由图可知，，

当，，三点共线时，等号成立，

所以点到原点的最大距离是.

故选：A

10.已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意画出图形，求出临界情况的离心率，再结合题意即可求出取值范围.

【详解】

从椭圆长轴端点向圆引两条切线，，则两条切线形成的夹角最小.

若在椭圆上存在点，过作圆的切线,，切点为,，使得，

则只需，即，

，

所以，则，所以，

所以，即，所以，

又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是.

故选：C.

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分.在答题纸上填写最简结果.）

11.已知双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用共渐近线设出所求双曲线的方程，再代入点即可得解.

【详解】因为双曲线与具有相同的渐近线，

所以设双曲线的方程为，

又双曲线经过点，所以，解得，

所以双曲线的方程为，则其标准方程为.

故答案为：.

12.已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为__________，的面积的最大值为__________.

【答案】①.②.

【解析】

【分析】首先设，利