概率论与统计大数定律.pptVIP

下回停概率论与统计大数定律第1页，共37页，星期日，2025年，2月5日一、问题的提出二、随机变量序列的收敛性第一节大数定律三、常用的四种大数定律第2页，共37页，星期日，2025年，2月5日一、问题的提出在第一章有关概率的统计定义中讲到,随机现象在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即事件发生的频率具有稳定性.贝努里于1713年首先提出关于频率稳定性的定理,被称为贝努里大数定律.第3页，共37页，星期日，2025年，2月5日大量抛掷硬币正面出现频率生产过程中的废品率字母使用频率在实践中,人们认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性.大数定律就是用于研究大量随机现象中平均结果的稳定性的理论.大数定律的客观背景第4页，共37页，星期日，2025年，2月5日二、随机变量序列的收敛性定义4.1的分布函数分别为和若在的所有连续点上都有则称随机变量序列依分布收敛与随机变量Y，简记为和随机变量Y设随机变量第5页，共37页，星期日，2025年，2月5日依分布收敛表示：当n充分大时，的分布函数收敛于Y的分布函数它是概率论中较弱的一种收敛性.定义4.2任意实数有或和随机变量Y，若对设随机变量序列第6页，共37页，星期日，2025年，2月5日则称随机变量序列依概率收敛与随机变量Y，简记为依概率收敛表示：与Y的绝对误差小于任意小大，直至趋于1.定理4.1为一随机变量序列，且(常数)，又函数在点C处连续，则有的可能性(即概率)将随着n增大而愈来愈的正数设第7页，共37页，星期日，2025年，2月5日证由在C处连续可知，对任意实数存在实数使当时，总有从而这就表明：第8页，共37页，星期日，2025年，2月5日定义4.3和随机变量对时，有和，若则称随机变量序列阶收敛于随机变量Y，简记为设随机变量序列第9页，共37页，星期日，2025年，2月5日特别的有1-阶收敛又称为平均收敛，2-阶收敛又称为均方收敛。可以证明：均方收敛则平均收敛。第10页，共37页，星期日，2025年，2月5日定义4.4设随机变量序列和随机变量，若或简记为以概率1（或几乎处处）收敛于随机变量简记为。则称随机变量序列以概率1（或几乎处处）第11页，共37页，星期日，2025年，2月5日下面定理揭示了四种收敛之间的关系。。(3)若，则和随机变量定理4.2设随机变量序列(1)若，则(2)若，则。(4)若，则第12页，共37页，星期日，2025年，2月5日定义4.5三、常用的四种大数定理令第13页，共37页，星期日，2025年，2月5日定理4.3切比谢夫大数定律第14页，共37页，星期日，2025年，2月5日证第15页，共37页，星期日，2025年，2月5日注1?这种接近是概率意义下的！通俗地说,在定理条件下,n个随机变量的算术平均值,当n无限增加时,几乎变成一个常数.第16页，共37页，星期日，2025年，2月5日2?切比谢夫大数定理的另一种叙述第17页，共37页，星期日，2025年，2月5日解设X1,X2,?,Xn是独立同分布的随机变量例1第18页，共37页，星期日，2025年，2月5日从而对任意给定的??0,由切比谢夫不等式得第19页，共37页，星期日，2025年，2月5日解设随机变量相互独立,具有如下分布律:问是否满足切比谢夫大数定理?由题意可知独立性.可见,每个随机变量的数学期望都存在.检验是否有数学期望例2第20页，共37页，星期日，2025年，2月5日检验是否有有限方差故满足切比谢夫大数定理的条件.第21页，共37页，星期日，2025年，2月5日定理4.4定理4.5贝努里大数定理第22页，共37页，星期日，2025年，2月5日证由定理4.3对任意的??0,有第23页，共37页，星期日，2025年，2月5日证毕.第24页，共37页，星期日，2025年，2月5日注1?用严格的数学形式表达频率的稳定性!当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.第25页，共37页，星期日，2025年，2月5日都有