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2026届湖南省衡阳市第一中学数学高二上期末联考模拟试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点,则的欧拉线方程为()
A. B.
C. D.
2.已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线过且与椭圆相交于不同的两点,、不在轴上,那么△的周长()
A.是定值
B.是定值
C.不是定值,与直线的倾斜角大小有关
D.不是定值,与取值大小有关
3.已知F是双曲线C:的一个焦点,点P在C的渐近线上,O是坐标原点,,则的面积为()
A.1 B.
C. D.
4.已知直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直,则实数a的值为()
A.﹣2 B.
C.1 D.1或﹣2
5.某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教,则抽取的3人中,女教师最多为1人的选法种数为()
A.10 B.30
C.40 D.46
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定:100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车,80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1.2,且在停止喝酒以后,他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少,若他想要在不违法的情况下驾驶汽车,则至少需经过的小时数约为()(参考数据:,)
A.6 B.7
C.8 D.9
7.在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为()
A. B.
C. D.
8.已知数列满足,(且),若恒成立,则M的最小值是()
A.2 B.
C. D.3
9.在等比数列中,,,则等于()
A.90 B.30
C.70 D.40
10.下列结论中正确的个数为()
①,;②;③
A.0 B.1
C.2 D.3
11.设为直线上任意一点,过总能作圆的切线,则的最大值为()
A. B.1
C. D.
12.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,则的形状为()
A.正三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知数列满足0,,则数列的通项公式为____,则数列的前项和______
14.已知抛物线的焦点为F,若抛物线上一点P到x轴的距离为2,则|PF|的值为___________.
15.在圆M:中,过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为___________.
16.焦点在轴上的双曲线的离心率为,则的值为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列的前n项和为,,,其中.
(1)记,求证:是等比数列;
(2)设,数列的前n项和为,求证:.
18.(12分)若是双曲线的两个焦点.
(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10,求点到另一个焦点距离;
(2)如图若是双曲线左支上一点,且,求的面积.
19.(12分)已知函数的图像为曲线,点、.
(1)设点为曲线上在第一象限内的任意一点,求线段的长(用表示);
(2)设点为曲线上任意一点,求证:为常数;
(3)由(2)可知,曲线为双曲线,请研究双曲线的性质(从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究).
20.(12分)已知.
(1)当,时,求中含项的系数;
(2)用、表示,写出推理过程
21.(12分)已知函数
(1)当时,求的单调性;
(2)若存在两个极值点,试证明:
22.(10分)已知数列的前n项和,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,,求数列的前n项和
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线,然后求出线段的垂直平分线的方程即可.
【详解】因为,所以线段的中点的坐标,线段所在直线的斜率,则线段的垂直平分线的方程为,即,因为,所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上,所以的欧拉线方程为.
故选:D
【点睛】本题主要考走查直线的方程,解题的关键是准确找出欧拉线,属于中档题.
2、B
【解析】由直线过且与椭圆相交于不同的两点,,且,为椭圆两焦点,根据
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