线性代数第六章.pptxVIP

第六章、二次型二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。

第一节二次型当所有系数aij为复数时,称f为复二次型；当所有系数aij为实数时,称f为实二次型。称为一个n元二次型，简称二次型。定义1n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次多项式(6.1)

从而(6.1)式可写成，则有取

令用矩阵将二次型(6.1)可写成由于矩阵A的主对角线元素aii是二次型f中平方项xi2的系数，其余元素aij=aji(i≠j)正是中交叉项xixj系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。其中矩阵A为实对称矩阵。我们称对称阵A为二次型f的矩阵,称矩阵A的秩为二次型f的秩。

解:表示为矩阵形式,并写出f的矩阵和f的秩。例1将二次型

因此，f的矩阵为由于矩阵A的秩为2，从而二次型f的秩为2。

定义2设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表示,即存在常数cij(i,j=1,2,…,n),使01成立。则称此关系式为由变量x1,x2,...,xn到变量y1,y2,...,yn的一个线性变换，或简称线性变换。03(6.3)设则(6.3)可以写成以下矩阵形式当|C|≠0时,称X=CY为可逆(或非退化)线性变换.

显然,可逆线性变换是一一对应的在处理许多问题时,常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型(6.1)进行可逆线性变换X=CY,则记,上式为

因为A是对称矩阵,所以即B也是对称矩阵,从而是一个关于变量的n元二次型,于是得到下面的定理后,仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为定理1二次型经可逆线性变换之定义3对于两个n阶矩阵A、B，若存在n阶可逆矩阵C，使，则称矩阵A与B合同。

矩阵的合同关系与相似关系类似,也是一种特殊的等价关系，具有自身性、对称性和传递性。01由定理1可知,经过可逆线性变换后,新旧二次型的矩阵彼此合同，又合同矩阵具有相同的秩，所以可逆线性变换不改变二次型的秩。02

定义1只含平方项而不含交叉项的二次型:01称为标准形式的二次型,简称为标准形。02显然,标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法：正交变换法和配方法。03第二节化二次型为标准形

一、正交变换法定理1任意一个n元二次型(A实对称)总可以经过正交变换X=QY(Q为正交矩阵)化为标准形(6.6)其中?1,?2,...,?n是矩阵A的全部特征值。式(6.6)称为二次型在正交变换下的标准形。证：因为矩阵A是实对称阵，一定存在正交矩阵Q，使得

其中?1,?2,...,?n是矩阵A的全部特征值。作正交变换X=QY，则

在解析几何中，在进行二次曲线或二次曲面的化简时，经常用到定理1，通常称为主轴定理。可以证明,正交变换保持线段的长度不变,所以用正交变换化二次型为标准形,具有保持几何形状不变的优点,因此正交变换法无论在理论上还是在实际应用中都十分重要。

例1用正交变换化下面的二次型为标准形：并判断二次曲面的类型。解:二次型的矩阵为在第五章§3例1中,我们已求得A的特征值为

并求出使A相似于对角矩阵的正交矩阵根据定理1,作正交变换X=QY，就可以使二次型化为标准形0102

因此二次曲面f=1表示旋转双曲面。,经正交变换二次曲面化为标准形

二、配方法用正交变换法化二次型为标准形,通常计算量比较大。如果不要求作正交变换,而只要求作一般的可逆线性代换的话，那么化二次型为标准形可用一种简便的方法——配方法。下面我们用具体例子来说明这种方法。

例2用可逆线性变换化下列二次型为标准形，并用矩阵形式写出所用线性变换。解（1）因为中的系数不为零，故把含的项集中起来，配方可得

上式右端除第一项外已不再含x1，继续配方可得01令02即03

用矩阵形式表示为令

logo则|C|=1≠0，故X=CY为可逆线性变换，且将二次型f化为标准形(2)因为二次型f中没有平方项，无法像(1)那样直接配方，所以先作一个可逆线性变换，使其出现平方项。由于含有x1x2交叉项，故令

即01代入可得再用(1)中的配方法，先对含y1的项配完全方，然后对含y2的项配完全平方，得到02

ABC即综合以上两个可逆线性变换，得令