理论力学第五章.pptVIP

令略去高价小量，取第31页，共82页，星期日，2025年，2月5日§5.4小振动1.保守系在广义坐标系中的平衡方程已知广义坐标系中的平衡条件是广义力若力是保守力，则于是第32页，共82页，星期日，2025年，2月5日2.多自由度力学体系的小振动考虑一个完整、稳定、保守的力学体系在平衡位置附近的微小振动，设平衡位置的广义坐标为零，可以将势能展为泰勒级数取对保守系略去高级项第33页，共82页，星期日，2025年，2月5日在稳定约束下，动能只是速度的二次函数其中也展开为泰勒级数只取第一项，则为常量惯性系数恢复系数第34页，共82页，星期日，2025年，2月5日代入拉氏方程，得到解的形式为代入上式，得第35页，共82页，星期日，2025年，2月5日由上式可求出2s个本征值从而求出2s组解为第36页，共82页，星期日，2025年，2月5日振动解要求为纯虚数，要做到这一点势能V0.令上式中叫简正频率，共有s个。第37页，共82页，星期日，2025年，2月5日3.简正坐标代入拉氏方程得到第38页，共82页，星期日，2025年，2月5日解出简正坐标简正频率第39页，共82页，星期日，2025年，2月5日例耦合摆解选做广义坐标第40页，共82页，星期日，2025年，2月5日第41页，共82页，星期日，2025年，2月5日在平衡位置附近代入拉氏方程，得到第42页，共82页，星期日，2025年，2月5日设解的形式为得到第43页，共82页，星期日，2025年，2月5日本征值通解为若以分别代入可求出第44页，共82页，星期日，2025年，2月5日令只有4个任意常数，由初始条件定。如果令则将以振动。第45页，共82页，星期日，2025年，2月5日例第46页，共82页，星期日，2025年，2月5日第47页，共82页，星期日，2025年，2月5日第48页，共82页，星期日，2025年，2月5日基本形式的拉氏方程保守系的拉氏方程拉氏方程的应用a.确定自由度b.选取广义坐标d.解拉氏方程并讨论c.写出体系的拉氏函数知识回顾§5.5哈密顿正则方程第49页，共82页，星期日，2025年，2月5日1.勒让特变换设则其中也是的函数若选作独立变量函数可表为第50页，共82页，星期日，2025年，2月5日注意是独立变量，可得其中第51页，共82页，星期日，2025年，2月5日2.正则方程将勒让特变换用于拉氏函数若要L中应当引入一个新函数第52页，共82页，星期日，2025年，2月5日代入得又最后得到第53页，共82页，星期日，2025年，2月5日2.能量积分与循环积分代入对稳定约束第54页，共82页，星期日，2025年，2月5日例题2第55页，共82页，星期日，2025年，2月5日第56页，共82页，星期日，2025年，2月5日由于总可以先取一个坐标系，在此坐标系下，使初始时。那么以后各时刻必有：即：所以：第57页，共82页，星期日，2025年，2月5日1.泊松括号设§5.6泊松括号和泊松定理代入得到其中泊松括号第58页，共82页，星期日，2025年，2月5日第1页，共82页，星期日，2025年，2月5日§5.2虚功原理§5.1约束与广义坐标第五章分析力学§5.3拉格朗日方程§5.4小振动§5.5哈密顿正则方程§5.6泊松括号和泊松定理※§5.9哈密顿-雅科比理论§5.7哈密顿原理§5.8正则变换※§5.10相积分与角变数※§5.11刘维定理第2页，共82页，星期日，2025年，2月5日1.约束的概念和分类概念力学体系中存在的限制质点自由运动的条件称为约束。§5.1约束与广义坐标分类稳定约束不稳定约束不可解约束可解约束（完整约束）几何约束运动约束（微分约束）可积不可积非完整约束第3页，共82页，星期日，2025年，2月5日2.广义坐标若n个质点的体系受k个几何约束此时，独立坐标数为3n-k个，它的自由度为3n-k=s，其位置可用s个独立参数表示:这s个独立参数就叫广义坐标或第4页，共82页，星期日，2025年，2月5日虚位移它是所有想象中可能的位移，取决于质点在此刻的位置和约束