推理与证明数系的扩充与复数的引入.pptVIP

证明：由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccosA,则.又由正弦定理,得,11.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,求证：.第31页，共62页，星期日，2025年，2月5日12.已知a,b,c,d都是正数，且bcad,求证：解析：∵a,b,c,d∈R+且bcad,∴,∴又∴,∴不等式成立.第32页，共62页，星期日，2025年，2月5日第三节数学归纳法基础梳理1.数学归纳法的适用对象一般地,对于某些与有关的数学命题,我们用数学归纳法公理.2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当时结论正确,证明当n=时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.正整数n=k(k∈N*,且k≥n0)k+1第33页，共62页，星期日，2025年，2月5日典例分析题型一与自然数n有关的等式的证明【例1】用数学归纳法证明：分析用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性.证明（1）当n=1时，左边=12×4=18,右边=18,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,成立;第34页，共62页，星期日，2025年，2月5日当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式也成立.综上可得，等式对于任意n∈N*都成立.学后反思用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.第35页，共62页，星期日，2025年，2月5日举一反三1.用数学归纳法证明：解析：（1）当n=1时，左边=,右边=,∴等式成立.（2）假设n=k(k∈N*)时,成立;当n=k+1时,左边=∴n=k+1时，等式成立.综上可得，对于任意n∈N*等式都成立.第36页，共62页，星期日，2025年，2月5日题型二用数学归纳法证明整除问题【例2】求证：（n∈N*）能被9整除.分析当n=1时，原式=27能被9整除.因此要研究与之间的关系，以便利用归纳假设能被9整除来推证也能被9整除.证明设（1）f(1)=(3×1+1)×7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立.(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，即(k∈N*)能被9整除.则第37页，共62页，星期日，2025年，2月5日由于f(k)能被9整除，能被9整除，所以能被9整除.由（1）、（2）知，对所有正整数n,能被9整除.学后反思整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除.举一反三2.用数学归纳法证明：(n∈N*)能被x+2整除.第38页，共62页，星期日，2025年，2月5日证明：（1）当n=1时，1-(3+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除.（2）假设当n=k时，能被x+2整除,则可设=(f(x)为k-1次多项式).当n=k+1时，能被x+2整除.综上可知，对任意n∈N*,1-(3+x)n能被x+2整除.第39页，共62页，星期日，2025年，2月5日题型三用数学归纳法证明不等式【例3】求证：(n≥2,n∈N*).分析和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.证明（1）当n=2时，左边=,不等式成立.（2）假设当n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立，即