理数、方程、线段和角的新定义问题大题专练（附答案）2025年新七年级数学 (人教版-新教材).docxVIP

人教版新七年级数学

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有理数、方程、线段和角的新定义问题大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题）

知识清单

1.对于新定义问题要读懂题目，搜集信息，理解本质﹕

要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质．题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在．

2.新定义型问题一般与代数知识结合较多，七年级涉及的知识有﹕

（1）有理数的运算、乘方的新定义问题．

（2）整式的加减以及求值新定义问题

（3）一元一次方程的新定义问题

（4）线段和角的新定义问题

3.熟练掌握和运用数学的常用思想方法

我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等．所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题．

1．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）对于有理数a、b定义一种新运算，规定a?b=

(1)求2??3

(2)若2?3?x=?2，求

【答案】(1)10

(2)x=2

【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号，要先做括号内的运算；

（1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出2??3

（2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，由2?3?x=?2，列出一元一次方程，然后根据解一元一次方程方法，求出

【详解】（1）解：2?

=

=4+6

=10；

（2）解：2?

=

=4?2×(9?3x)

=6x?14

∴6x?14=?2，

解得x=2．

2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：若a+b=7，则称a与b是关于7的幸福数．

(1)10与________是关于7的幸福数，5+x与________是关于7的幸福数．（填一个含x的代数式）

(2)若a=2x2+3x+4，b=x2

(3)若c=kx+1，d=x+2，且c与d是关于7的幸福数，若x为正整数，求非负整数k的值．

【答案】(1)?3，2?x；

(2)a与b是关于7的幸福数，理由见解析

(3)非负整数k的值为0或1或3

【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程：

（1）根据幸福数的定义列式求解即可；

（2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为3即可；

（3）根据c=kx+1，d=x?2，且c与d是关于3的幸福数，可以得到k和x的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当x为正整数时，非负整数k的值．

【详解】（1）解：∵10+(?3)=7，

∴10与?3是关于7的幸福数，，

∵7?5+x

∴5+x与2?x是关于7的幸福数，

故答案为：?3，2?x；

（2）解：a与b是关于7的幸福数，

理由：∵a=2x2+3x+4

∴a+b=2

=2

=7，

∴a与b是关于7的幸福数；

（3）解：∵c=kx+1，d=x+2，且c与d是关于7的幸福数，

∴c+d=7，

∴kx+1+x+2=7，

∴k+1

∴x=4

∵k为非负整数，x为正整数，

∴x可能是1，2，4，

当x=1时，k+1=4，得k=3；

当x=2时，k+1=2，得k=1，

当x=4时，k+1=1，得k=0，

∴非负整数的值为0或1或3．

3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）定义一种新运算“★”，其运算方式如下：

2★1=4×2?3×1=5

1★

?5★

观察式子的运算方式，请解决下列问题：

(1)这种运算方式是：m★n=______（用含m，n的式子表示）；

(2)解方程2★x=x★2；

(3)若关于x的方程3★ax?1=6的解为整数，求整数

【答案】(1)4m?3n；

(2)x=2；

(3)?3,?1,1,3．

【分析】本题考查定义新运算，一元一次方程的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，正确的列出一元一次方程．

（1）根据给定的新运算的法则，进行计算即可；

（2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可；

（3）根据新运算的法则，列出方程进行求解，根据解为整数，求出a的值即可．

【详解】（1）解：由题意，得：m★n=4m?3n；

故答案为：4m?3n；

（2）解：∵2★x=x★2

∴4×2?3x=4x?3×2，

即：8?3x=4x?6，

?7x?=?14

解得：x=2；

（3）解：3★ax?1

即：4×3?3ax?1=6，解得：

∵方程的解为整数，

∴3a

又a为整数，

∴a=?3,?1,1