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河科大振动力学第五章第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日先看一个例子图示滚动轴承。求某一个滚动体与内外圈间的弹性力5.1非线性振动示例：接触变形第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日总的恢复力是所有滚珠恢复力的总和：5.1非线性振动示例振动方程：典型的非线性振动微分方程：第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日5.2非线性振动基本性质5.2非线性系统的性质1、恢复力为非线性时，系统的固有频率与振幅的大小有关，而线性系统固有频率与振幅无关。非线性系统与线性系统相比有许多本质的不同，主要表现在：2、非线性系统的强迫振动会出现跳跃现象和滞后现象，对于强非线性系统,当激振力大小不变，缓慢地增加激振力的频率,其强迫振动的振幅将逐渐加大,直至某一点,振幅突然下降,即发生一次降幅跳跃,此后若继续增加激振力的频率,振幅将逐渐减小。反之,从高频开始逐步减小频率,振幅将逐渐增大,直至某一点,振幅突然增大,发生一次增幅跳跃,但激振力的频率在增大和减小过程中产生跳跃点的位置不同,正过程跳跃在前,逆过程跳跃在后,这就是滞后现象。第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日5.2非线性振动基本知识3、在非线性系统中,由简谐干扰力引起的强迫振动,不仅有与干扰力周期相同的振动,而且有等于干扰力周期整倍数周期的振动。对于一个单自由度非线性系统作用一个简谐干扰力,可能出现多种共振状态。而线性系统的强迫振动周期与简谐干扰力周期相同。4、除非在很强的限定条件下,叠加原理通常不再适用。这一性质使得求解非线性系统的全解变得十分复杂。第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日5.2非线性振动基本知识5、非线性系统中可能会出现自激振动。线性系统中由于阻尼，其自由振动总是衰减的。而在非线性系统中，即使是存在阻尼，也可能有稳定的周期性自由振动。能量的损失可以由输入该系统的能量得到补偿，输入能量的时间和大小由振动系统的特性及工况决定。这也是自激振动的本质。由于线性叠加原理已不适用，所以应对所有的激振源同时进行考虑。在参数空间的某些区域可能存在多个解，而且每个分岔等现象也各不相同，当系统的参数，如转速等发生变化时，可能产生跳跃现象或者解的分岔等现象。第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日5.2非线性振动基本知识6、存在频率俘获现象。线性振动系统中，如果同时存在两个简谐振动时，则当这两个频率比较接近时，会产生拍振。非线性系统则可能出现一个频率的振动，即振动同步，这一现象称为频率俘获7、混沌运动的产生和消失等。混沌现象是非线性系统特有的又一特性。第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日5.3非线性动力基本理论5.3非线性动力基本理论动力系统是在给定的空间，对系统中所有点随时间变化所经过的路径的描述，表征了它们随时间的演化。动力系统理论主要研究系统随时间的各种演化行为，如平衡点、周期解等，分析解的分岔、稳定性等对于一个随时间演化的系统，如果可以用下面的常微分方程组来描述：则称该系统为古典动力系统。第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日5.3非线性动力基本理论1、动力系统运动稳定性运动稳定性是指激励引起的内部状态随时间变化的规律。Lyapunov运动稳定性研究的是动力系统对初始值扰动的动态行为，是动力系统在受到初始扰动后的动态特性。设是动力系统方程的一个解，对于任给的一个无穷小量，如果存在一个与相关的无穷小量，使得方程的任意解，当时就有，则称是Lyapunov意义下稳定的，否则是不稳定的。第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日5.3非线性动力基本理论2、分岔对于一些含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态（例如平衡状态或周期运动的数量、性质和稳定性）会突然发生变化，这种现象称为分岔，对应的参数的临界值称为分岔值。分岔是一种常见的非线性现象，并且与其他一