特殊的平行四边形 (重点速记+12大核心考点+复习提升) (附答案)2025年新九年级数学讲练.docxVIP

人教版九年级数学

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二次根式与勾股定理

一、平行四边形的性质与判定

1.平行四边形的性质：

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等．

②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分．

（3）平行线间的距离处处相等．

（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

2.平行四边形的判定：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC

∴四边行ABCD是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB=DC，AD=BC

∴四边行ABCD是平行四边形．

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB∥DC，AB=DC

∴四边行ABCD是平行四边形．

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB

∴四边行ABCD是平行四边形．

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言：∵OA=OC，OB=OD

∴四边行ABCD是平行四边形．

3.三角形的中位线：

（1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（2）几何语言：

如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点??

∴DE∥BC，

二、矩形的性质与判定

1.矩形的性质：

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等且互相平分；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

2.矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

三、菱形的性质与判定

1.菱形的性质：

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

（2）菱形的性质：

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

（3）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=．（a、b是两条对角线的长度）

2.菱形的判定：

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形．

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．

四、正方形的性质与判定

1.正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

2.正方形的判定：

正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

考点一：平行四边形的性质与判定

例1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，EC⊥AB于点E，F为AD的中点，连接EF，CF．

(1)求∠BCD∠DCF

(2)求证：EF=CF．

【答案】(1)2

(2)证明见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线定理，全等三角形的判定及性质等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．

（1）利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质进行角的等量代换求解即可；

（2）延长BA，交CF的延长线于点G，判定出△GFA≌△CFD，即可根据全等的性质求解．

【详解】（1）解：∵F为AD的中点，

∴FD=1

∵AD=2AB，

∴AB=1

∴FD=AB，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴FD=AB=DC，AD∥

∴∠DFC=∠DCF=∠FCB，

∴∠DCF=1

∴∠BCD∠DCF

（2）解：延长BA，交CF的延长线于点G，如图所示：

∵ABCD为平行四边形，

∴BG∥

∴∠G=∠FCD，

∴在△GFA和△CFD中，

AF=FD

∴△GFA≌△CFDAAS

∴GF=CF=1

∵EC