2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题47 一元二次方程（学生版+解析版）.docx

专题47 一元二次方程 一、用换元法解一元二次方程 【典例】若实数x，y满足x2﹣2xy+y2+x﹣y﹣6＝0，则x﹣y的值是（　　） A．﹣2或3 B．2或﹣3 C．﹣1或6 D．1或﹣6 【解答】解：设x﹣y＝m，则原方程可化为： m2+m﹣6＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣3， 所以，x﹣y的值2或﹣3． 故选：B． 【巩固】已知方程x2+1x+3xx2+1 二、含绝对值解一元二次方程 【典例】已知方程x2﹣|2x﹣1|﹣4＝0，则满足该方程的所有根之和为（　　） A．2-6 B．1-6 C．0 【解答】解：当2x﹣1≥0时，即x≥12，原方程化为：x2﹣2x﹣3＝ ∵（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1， ∵﹣1＜1 ∴x2＝﹣1（舍去）， ∴x＝3， 当2x﹣1＜0，即x＜12时，原方程化为：x2+2x﹣5＝ ∴（x+1）2＝6， ∴x+1＝±6， ∴x1＝﹣1+6，x2＝﹣1- ∵﹣1+6 ∴x1＝﹣1+6 ∴x＝﹣1-6 则3+（﹣1-6）＝2- 故选：A． 【巩固】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．8 三、一元二次方程求值类问题 【典例】设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+3α+αβ＝　 　． 【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根， ∴αβ＝﹣7，α2+3α﹣7＝0， ∴α2+3α＝7， ∴α2+3α+αβ＝7﹣7＝0； 故答案为：0． 【巩固】 已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则a2 A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 巩固练习 1．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x﹣1的值为（　　） A．±2 B．0或﹣4 C．0 D．2 2．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x2﹣2[x]﹣3＝0的解的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．定义新运算△：a△b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b﹣1），其中b为正整数．如果（x△3）△（2x）＝13，则x＝（　　） A．1或-138 B．1或0 C．-138 4．用配方法解方程x2+6x+5＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4 5．对于实数m，n，先定义一种新运算“※”如下：m※n=m2+n，(m≥n)n2+m，(m＜n)，若 6．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1＝0的较大根为a，方程x2+2006x﹣2007＝0的较小根为b，则a﹣b＝　 　． 7．设实数x满足方程|x2﹣1|﹣x|x+1|＝0，则x的值为　 　． 8．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求： （1）2a2﹣4040a﹣3的值； （2）代数式a2﹣2019a+2020 9．已知关于x的方程x2+ax+b＝0（b≠0）与x2+cx+d＝0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab＝cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6＝0与x2﹣2x﹣3＝0互为“同根轮换方程”． （1）若关于x的方程x2+4x+m＝0与x2﹣6x+n＝0互为“同根轮换方程”，求m的值； （2）若p是关于x的方程x2+ax+b＝0（b≠0）的实数根，q是关于x的方程x2+2ax+12b=0的实数根，当p、q分别取何值时，方程x2+ax+b＝ 10．阅读下列材料： 已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，试求x2+y2的值． 解：设x2+y2＝a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）＝63，整理得a2﹣1＝63，a2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： （1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值． （2）填空： ①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　 　． ②已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y 11．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0． （1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值； （2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=5时，△ABC是等腰三角形，求此时m 12．已知方程（m﹣1）x2﹣（m2+2）x+（m2+2m）＝0，（n﹣1）x2﹣（n2+2）x+（n2+2n）＝0（其中m，n都是正整数，且m≠n≠1）有一