2026新高考数学一轮复习专题：立体几何解答题常考模型归纳总结（解析版）未修改.pdfVIP

新高考数学一轮复习

专题突破立体几何解答题常考模型归纳总结

题型一:非常规空间几何体载体

【典例1-1]（2024•河南濮阳•模拟预测）如图，侧面BCC6水平放置的正三棱台

且侧棱长为据•

(1)求证：AAX平面BCCXBX；

（2）求直线和平面4C鸟所成角的正弦值.

【解析】（1）延长三条侧棱交于一点。，如图所示.

由于=2/占=4,则BXAX为^OBA的中位线.

又侧棱长为姻，所以OB=OA=2V2-所以OB2+OA2^16=BA2,所以OAVOB,

同理可得OA±OC,OB1OC.

因为03,0。是平面03。内两条相交直线，所以Q41平面OBC,艮\iAA{1平面BCC%

（2）由（1）可知Q4,O3,OC两两垂直，可以以04,05,OC所在的直线分别为x轴、＞轴、z轴建立空间

直角坐标系，如图所示.

则/（0,0,2扬）,3（2a/2,0,0）,C（0,2^2,0）,（^2,0,0）,屈=（2扼,0,-2^2）.

设平面ZC3］的一个法向量为万=（x,l）,

由于衣=（0,2扳，一2很），液=（扼,0,-2四,

n-AC=242y-2s/2=0,顼》=2

所以

万.液=妨-2a/I=0,［/=］，

即平面/朗的一个法向量为万=（2,1,1）,

AB-ii

网®=箫=藉=亨

所以直线45和平面所成角的正弦值为cos如，亓

【典例1-2】（2024•云南昆明•三模）如图，在三棱台ABC-A^Q中，上、下底面是边长分别为2和4

的正三角形，44工平面ABC,设平面ABxCxA平面ABC=l,点分别在直线Z和直线B鸟上,且满足

EFl,EF1BBl.

（1）证明：EF_L平面BCCtBt；

（2）若直线EF和平面ABC所成角的正弦值为虫,求该三棱台的高.

3

【解析】（1）证明：由三棱台ABC-A^q知，BfiJ/平面ABC,

因为BJu平面ABQ,且平面AB.C,A平面ABC=l,所以〃/,

又B〃BC,所以〃/BC,

因为EF11,所以EF1BC,

又EF1BBX,BC^BBX=B,且BCu平面BCC/i,B8U平面BCCq,

所以EFI平面BCQBi.

（2）以A为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为力,

则6（2,2占,0）,曷（1播,力），C（-2,2^3,0）,3=（4,0,0）,前=（一1,一右,力）,

4x=0

设平面BCQB,的法向量为H=（x,y,z）,则厂，

-x-y/3y+hz=0

令贝IJZ=V3,所以平面BCCA的一个法向量m=（0,/z,V3）,

易得平面如。的一个法向量沅=（0,0,1）,

设时与平面4BC夹角为0,由（1）知EF//n,

所以由已知得sin。=cosm,n\=.J.~=/（=,

\m\-\n\J+33

解得h=R，所以三棱台的高为用.

【变式1-1]（2024•天津和平•二模）如图，三棱台ABC-A^Q中，NABC为等边三角形,

48=248]=4,平面/3C,点M,N,。分别为/B,AC,3。的中点，A^IAC,.

B

（1）证明：CG〃平面MN；

（2）求直线D与平面MN所成角的正弦值；

（3）求点D到平面MN的距离.

【解析】（1）因为侧棱底面48C,VABC为等边三角形，所以过点A作AHAC,则以为点/为

坐标原点，AC-AH，甫的方向分别为x轴，N轴，z轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系,

设M长为冰”