第七章-§7.2-球的切、接问题.pdfVIP

§7.2球的切、接问题

重点解读与球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间

想象能力、计算能力．其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊

几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决．

一、正方体与球

1．内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a.

2．棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长2a.

3．外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长3a.

二、长方体与球

222

外接球：外接球直径2R＝体对角线长＋＋(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)．

abc

三、正棱锥与球

11

1．内切球：V正棱锥＝S表·r＝S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高．

33

22

2．外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R＝(h－R)

2

＋r(正棱锥外接球半径为R，高为h)．

四、正四面体的外接球、内切球

6

若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝a，

3

66

R＝a，r＝a，R∶r＝3∶1.

412

五、正三棱柱的外接球

2

球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心．R＝

h柱2

()2＋(AD)2.

23

六、圆柱的外接球

h

R＝()2＋r2(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径)．

2

七、圆锥的外接球

222

R＝(h－R)＋r(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)．

题型一外接球

命题点1定义法

例1(1)(2023·茂名模拟)已知菱形ABCD的各边长为2，∠B＝60°.将△ABC沿AC折起，折起

后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P－ACD，如图所示，当三棱锥P－ACD的表面积最

大时，三棱锥P－ACD的外接球体积为()

52π43π

A.B.

33

82π

C．23πD.

3

答案D

解析由题意可得，△ACD，△ACP均为边长为2的等边三角形，△PAD，△PCD为全等的

等腰三角形，

则三棱锥P－ACD的表面积

131

S＝2S△ACD＋2S△PCD＝2××2×2×＋2××2×2sin∠PCD＝23＋4sin∠PCD≤2