机器人技术第三章数学基础.pptVIP

*******************需要在黑板上画、推导。****需要在黑板上画、推导。需要在黑板上画、推导。需要推导**需要推导需要推导*解2：用分步计算的方法①R（x,90°）②R（z,90°）③R（y,90°）（2-14）（2-15）（2-16）第31页，共52页，星期日，2025年，2月5日上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：定义1：当动坐标系绕固定坐标系各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换第32页，共52页，星期日，2025年，2月5日平移齐次变换矩阵注意：平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换第33页，共52页，星期日，2025年，2月5日2.2.4相对变换举例说明：例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系∑0′做如下运动：①R(Z,90o)②R（y,90o）③Trans(4，-3,7)，求合成矩阵解1：用画图的方法：第34页，共52页，星期日，2025年，2月5日解2：用计算的方法根据定义1，我们有：以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例2：①先平移Trans(4,-3,7)；②绕当前轴转动90o；③绕当前轴转动90o；求合成旋转矩阵。（2-20）第35页，共52页，星期日，2025年，2月5日解1：用画图的方法解2：用计算的方法（2-21）第36页，共52页，星期日，2025年，2月5日式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。第37页，共52页，星期日，2025年，2月5日右乘的意义：机器人用到相对变换的时候比较多例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。oH第38页，共52页，星期日，2025年，2月5日2.2.5绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换有时动坐标系∑O′可能绕过原点O的分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r转动φ角。研究这种转动的好处是可用∑O′绕某轴r的一次转动代替绕∑O各坐标轴的数次转动为推导此旋转矩阵，可作下述5步变换：绕X轴转α角，使r轴处于XZ平面内绕Y轴转-β角，使r轴与OZ轴重合绕OZ轴转动φ角绕Y轴转β角绕X轴转-α角第39页，共52页，星期日，2025年，2月5日由上图容易求出：由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：（2-25）第40页，共52页，星期日，2025年，2月5日带入式（2-25），得由该式可以推出3个基本旋转矩阵第41页，共52页，星期日，2025年，2月5日2.2.6齐次变换矩阵的几何意义设，有一个手爪，即动坐标系∑O′，已知，初始位置重合，那么∑O′在∑O中的齐次坐标变换为：，如果手爪转了一个角度，则：第42页，共52页，星期日，2025年，2月5日T反映了∑O′在∑O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由4个子矩阵组成，写成如下形式：为姿态矩阵（旋转矩阵），表示动坐标系∑O′在固定参考坐标系∑O中的姿态，即表示∑O′各坐标轴单位矢量在∑O各轴上的投影为位置矢量矩阵，代表动坐标系∑O′坐标原点在固定参考坐标系∑O中的位置为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一般置为0为比例系数第43页，共52