综合与实践-最短路径问题 课件 人教版数学八年级上册.pptxVIP

第15章轴对称八年级数学上册同步精品课堂（人教版）人教版数学八年级上册

综合与实践最短路径问题

日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题?.在前面的学习中，我们知道，“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等，接下来我们对最短路径问题进行探究.

复习回顾1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB①②③②最短，因为两点之间，线段最短.2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短.3.三角形的三边关系是？三角形三边关系：两边之和大于第三边.

新知探究活动一牧民饮马问题ABl数学问题C？任务1：如图1,牧民从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短?将A，B两地抽象为两个点将河l抽象为一条直线问题转化为：在直线l上确定一点C，使得AC+BC最短.

新知探究思考：（1）现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？AlBC根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求.连接AB，与直线l相交于点C.

新知探究思考：（2）如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？能够借助异侧两点的思路来解决同侧问题？如果将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以了！ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.B′

新知探究“牧民饮马”问题解决思路(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C如何证明？

新知探究任务2：“牧民饮马”问题证明方法证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′，即AC+BC最短．ABlB′CC′

新知探究思考：“牧民饮马”问题解决过程中为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′思考：你还有其他的方法吗？(1)作点A关于直线l的对称点A′；(2)连接A′B，与直线l相交于点C．则点C即为所求．ABlA′C

新知探究思考：如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（）A.转化思想B.三角形两边之和大于第三边C.两点之间，线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角??ABlCB′D

典例精析两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.任务3：举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.

新知探究活动二牧民饮马问题的拓展任务1：如图,牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处.牧民怎样走可使所走的路径最短?

新知探究【分析】我们把草地边缘和河岸边缘抽象成两条射线OM，ON，分别画出点A关于OM、ON的对称点B、C，连接BC交OM、ON于点D、E，连接AD、AE，则线段AD、DE、EA即为所示路径.BOMNDCE

新知探究任务2：如图,牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.牧民怎样走可使所走的路径最短?DOMNE