矩阵与矩阵的标准形.pptVIP

故的Jordan标准形为或第63页，共111页，星期日，2025年，2月5日求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩的方法.具体操作步骤：（1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值（2）其Jordan标准形的主对角线上都是的特征值，并且特征值在主对角线上出现的次数等于作为特征根的重数。对于每个特征值，求出以它为主对角元的各级Jordan块的数目，首先求出那么以为主对角元的Jordan块的总数是第64页，共111页，星期日，2025年，2月5日这里为该矩阵的阶数，而以为主对角元的级Jordan块的数目是依次先求出直至满足条件第65页，共111页，星期日，2025年，2月5日为止。（3）根据第二步求出的各级Jordan块的数目，就可以写出的一个Jordan标准形。例1用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。第66页，共111页，星期日，2025年，2月5日解：先求出的特征多项式及其特征值。对于特征值，它是的1重根，从而在的Jordan标准形的主对角线上出现一次，因此中主对角元为1的Jordan块只有一个且它为一阶的。第67页，共111页，星期日，2025年，2月5日对于特征值，先求所以从而第68页，共111页，星期日，2025年，2月5日特征值是的两重根，从而在的Jordan标准形的主对角线上出现两次，因此中主对角元为3的Jordan块只有一个且它为二阶的。故的标准形为或第69页，共111页，星期日，2025年，2月5日例2用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为第70页，共111页，星期日，2025年，2月5日所以为的4重根，从而在的Jordan标准形的主对角线上出现四次，下面计算中主对角元为1的Jordan块的数目，先计算，容易得到那么中主对角元为的Jordan块数是由此立即可得其Jordan标准形为第71页，共111页，星期日，2025年，2月5日如何求相似变换矩阵？设阶方阵的Jordan标准形为,则存在可逆矩阵使得第72页，共111页，星期日，2025年，2月5日，称为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求的方法。例1求方阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵。第73页，共111页，星期日，2025年，2月5日解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：第74页，共111页，星期日，2025年，2月5日故的初等因子为从而的Jordan标准形为再求相似变换矩阵：设所求矩阵为，则，对于按列分块记为第75页，共111页，星期日，2025年，2月5日于是有从而可得第76页，共111页，星期日，2025年，2月5日整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取，但是不能简单地取，这是因为如果选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于第77页，共111页，星期日，2025年，2月5日的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增