专题07 坐标法、极化恒等式在平面向量中的应用（3大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）(有解析）.docxVIP

专题07坐标法、极化恒等式在平面向量中的应用

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TOC\o1-1\h\u题型01坐标法 1

题型02极化恒等式 9

题型03平面向量中的最值（范围）问题 13

题型01坐标法

【解题规律·提分快招】

1、建系的常见技巧

（1）前言

坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。

（2）技巧

①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；

②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（???）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】令，，进而有，应用向量数量积的坐标表示得，结合三角函数关系及二次函数的性质求最值.

【详解】不妨令，，又，则，

所以

，

当时，的最小值为.

故选：C

2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．

【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

结合已知得，B?2,0，，

半圆弧的方程为：，

设，则，，，

由得：，

解得：，

所以，

因为在上，所以，

又，

则可设，，，

将，代入整理得：

，

由得，

所以，，

故的取值范围是.

故选：D.

3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意建立直角坐标系，设Px,y，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值.

【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，

设Px,y,.

所以,,,,

所以,

因为,

即,

故点在以点为圆心，半径为的圆周上运动，

所以的最大值为.

故选：D.

二、填空题

4．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．

【答案】

【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；

解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.

【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.

解法一：因为，即，则，

可得，所以；

由题意可知：，

因为为线段上的动点，设，

则，

又因为为中点，则，

可得

，

又因为，可知：当时，取到最小值；

解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则，

可得，

因为，则，所以；

因为点在线段上，设，

且为中点，则，

可得，

则，

且，所以当时，取到最小值为；

故答案为：；.

5．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知向量，，满足，，，.若恒成立，则的最大值为.

【答案】/

【分析】根据可得，即可建立直角坐标系，根据数量积的坐标运算可得在以为圆心，为半径的圆上，即可根据共线求解.

【详解】因为，结合，所以.

建立如图所示的平面直角坐标系，

使得，.

令，则，，

代入，整理得，

所以点在以为圆心，为半径的圆上.

因为，点在圆内，所以，

当且仅当点在的延长线上时，等号成立.

若恒成立，则，所以的最大值为.

故答案为：

6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）设为单位向量，向量满足，则当与的夹角最大时，．

【答案】5

【分析】令，，利用余弦定理及向量模长的坐标表示得，即，再由等面积法、向量数量积定义有与的夹角最大，即最小，进而由，即可求值.

【详解】因为为单位向量，向量满足，

所以可令，如下图示，

易知，若，故，

而，即，

所以，又，

所以，要与的夹角最大，即最大，即最小，

由，当且仅当时取等号，

所以当与的夹角最大时，.

??

故答案为：5

【点睛】关键点点睛：利用正余弦定理及向量模长的坐标表示、及数量积的定义确定与的夹角最大，即最小为关键.

7．（24-25高三上·天津河东·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则