专题07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略（练习）(有解析）.docxVIP

专题07函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略

目录

TOC\o1-2\h\z\u01模拟基础练 2

题型一：含参数函数单调性讨论 2

题型二：导数与数列不等式的综合问题 4

题型三：双变量问题 9

题型四：证明不等式 13

题型五：极最值问题 15

题型六：零点问题 18

题型七：不等式恒成立问题 24

题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 26

题型九：利用导数解决一类整数问题 32

题型十：导数中的同构问题 36

题型十一：洛必达法则 42

题型十二：导数与三角函数结合问题 44

重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题 47

02重难创新练 55

题型一：含参数函数单调性讨论

1．已知函数．

(1)若，求在处的切线方程．

(2)当时，证明：有两个不同的极值点．

(3)讨论的单调性．

【解析】（1）由题设，则，

所以，，故切线方程为，

整理得.

（2）由题设，则，

由函数定义域为，则时fx0，或时fx

所以上单调递减，上单调递增，

显然有两个不同的极值点，分别为和x=1，得证.

（3）由题设，且，

当时，，故时fx0，时fx

所以在上单调递增，在上单调递减；

当时，时fx0，或时fx

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，恒成立，即在上单调递减；

当时，时fx0，或时fx

所以在上单调递减，在上单调递增；

2．（2024·高三·浙江·期中）已知函数，其中.

(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；

(2)讨论函数的单调性.

【解析】（1）函数，求导得，

由曲线在点处的切线垂直于直线，得，

所以.

（2）函数的定义域为，，

当时，恒成立，函数在上单调递增；

当时，方程中，，

若，则，，函数在上单调递增；

若，则，关于x的方程有两个正根，，，

当或时，；当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数的递增区间是；

当时，函数的递增区间是，递减区间是.

3．已知函数，讨论的单调性.

【解析】函数的定义域为，

当时，，则在上单调递增；

当时，由，得，

由，得；由，得，

于是有在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时，在上单调递增；

当0时，在上单调递增，在上单调递减．

题型二：导数与数列不等式的综合问题

4．已知首项为1的正项数列满足.

(1)探究数列的单调性；

(2)证明：.

【解析】（1）数列为递减数列，理由如下：

由题意可得，

则，

令函数，

则，

∴fx在上单调递减，

则，令，

则，

，

即数列为递减数列；

（2）令函数，

，

令函数，

则，当时，?x0，当x0时，?

故?x在单调递减，在0,+∞

故，则，

，

，故在定义域上单调递增，，

令，

则，

又，

.

当时，

.

即，又时，.

所以.

5．已知函数．

(1)若，证明：；

(2)记数列的前项和为．

（i）若，证明：．

（ii）已知函数，若，，，证明：.

【解析】（1）设，当时，，

所以在上为增函数，故当时，，

所以当时，

设，当时，，

所以在上单调递增，故当时，，

所以当时，

故当时，

因为，当时，，

所以在上为增函数，

因为当时，，且由，

可得，所以，即，

所以

（2）（i）因为，

所以，

则，

所以，

即，

所以

（ii）函数，

因为当时，，

所以当时，，

所以当时，，

因此，

故，即

因为，

所以当时，，

综上，，所以，

所以，

即.

6．（2024·高三·四川绵阳·开学考试）已知函数．

(1)当时，证明：；

(2)现定义：阶阶乘数列满足．若，证明：．

【解析】（1）令函数，

要证明时，，即证明，

，

，

所以当时，?x单调递减，所以，故原不等式成立.

（2）将左右同除以，

有

即，累加有，

即，

由（1）知，，即，

所以，

所以，所以，

当时也满足，所以

所以，

下面证明，

令数列，，

因为

，

因为，故只需判断的符号，

令，则，

令，

当x∈1,+∞时，，所以F

所以，所以，

即故数列单调递增，

所以，

故原不等式成立.

题型三：双变量问题

7．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性；

(2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；

(3)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）当时，，满足为偶函数；

当时，，且为非奇非偶函数.

（2）函数在处有极值，

可得，解得，

所以

当时，递减；当或时，递增，

可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为，

的方程有3个不同的实根，等价为，

即有的取值范围是.

（3）在递减，可得时，，

，即为，

即

即为

即对任意且时恒成立.

所以在递减；在递增.

当在恒成立时，可得，即在恒成立，

在上单调递增，即，则.

当在恒成立