浙教版八年级上册数学精品教学课件 极速提分法 第4招 构造全等三角形的六种常用方法.pptVIP

第4招构造全等三角形的六种常用方法浙教版八年级上

例典例剖析如图，已知AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.

解题秘方：证明线段的和差问题，常采用截长(补短)法，把两条较短线段中的一条补到另一条线段上，或把较长的线段截成两条线段，构造全等三角形来解决．

证明：如图，在BC上取一点F，使BF＝BA，连结EF.∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.

方法1翻折法分类训练1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.

证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，使其与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CF⊥AD于点E，交AB于点F，连结DF.求证：∠ADC＝∠BDF.方法2补形法

证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G，则∠CBG＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.

3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF.求∠EAF的度数．方法3旋转法

解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连结AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABE＝∠D＝90°，∴∠ABH＝90°.

【点拨】图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.

证明：如图，延长EB到G，使BG＝DF，连结AG.

5．(1)如图①，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．方法4倍长中线法

解：如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC.又∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC＝3.在△ABE中，AB＝5，∴5－3＜AE＜5＋3，∴2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4.

(2)受到(1)启发，请你证明下面的问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF.求证：BE＋CF＞EF.

证明：如图②，延长FD到点G，使GD＝DF，连结BG，EG.∵D是BC边上的中点，∴BD＝DC.又∵∠BDG＝∠CDF，∴△BDG≌△CDF(SAS)，∴BG＝CF.∵DE⊥DF，DG＝DF，∴ED是GF的垂直平分线，∴EG＝EF.在△BEG中，BE＋BG＞EG，∴BE＋CF＞EF.

6．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．

(1)求证：△ADC≌△EDB.证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE.在△ADC和△EDB中，AD＝ED(已作)，∠ADC＝∠EDB(____________)，CD＝BD(中点的定义)，∴△ADC≌△EDB(________)．对顶角相等SAS

(2)探究得出AD的取值范围是___________；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．1＜AD＜7

【点拨】∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6.在△ABE中，AB＝8，∴8－6AE8＋6，∴2＜2AD＜14，∴1＜AD＜7.

【问题解决】(3)如图②，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长.

7．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，问PC与PD相等吗？试说明理由．方法5作垂线法

解：PC＝PD.理由如下：如图，过点P分别作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，F.∵OM平分∠AOB，∴PE＝PF.又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF＝90°，即∠EPC＋∠CPF＝90°.

8．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.方法6作平行线法

如图，过点P作PD∥BQ交CQ于点D.则∠CPD＝∠CBQ＝40°，∴∠CPD＝∠C＝40°.∴PD＝CD