湘教版八年级上册数学精品教学课件 极速提分法 第7招 等腰三角形中作辅助线的七种常用方法.pptVIP

第7招等腰三角形中作辅助线的七种常用方法湘教版八年级上册

方法1构造“三线合一”图形1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：

(1)ED＝DF；证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C.又∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°.∴AD＝BD.

(2)ED⊥DF.证明：∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF.∴∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°，∴∠EDF＝90°，∴ED⊥DF.

2．【2023·杭州西湖区月考】如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.

证明：如图，作EF⊥AC于点F.∵EA＝EC，∴AF＝FC.∵AC＝2AB，∴AF＋FC＝2AF＝2AB.∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.

3．如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD＝DE，EF∥BC交BD于点F.求证：AB＝EF.方法2作平行线构造等腰三角形

证明：如图，过点A作AG∥EF，交BD的延长线于点G，则∠G＝∠EFD.

【点方法】当题目中出现角平分线、平行线这两个条件时，一般会有等腰三角形出现，简记为：角平分线＋平行线→等腰三角形．记住这个模式，有助于解题．

4．如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．

证明：如图，过点D作DG∥CE交BC于点G，则∠E＝∠FDG.

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.方法3等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线(或垂线)

(1)求证：PD＝QD.证明：如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.

(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E.P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．

【点方法】动态问题的求解思路．动态问题是以点、线、面运动为情境，探索和发现其中的规律或结论的题型．由于图形运动，导致题目的条件不断改变，相应的数量关系和结论可能不改变，也可能改变，一般要根据条件进行探索．若得到不变的值或结论，就求出了不改变的值或得到不变的结论；若不能得到不变的值或结论，就相当于说明了理由．

6．如图，在等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BE于G.求证：BG＝EG.方法4等腰三角形中证与底有关联的线段时常作底的平行线

证明：如图，过点D作DF∥BE，交AB的延长线于F.∵△ABC是等边三角形，DF∥BE，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.∴△ADF是等边三角形．∴AD＝DF＝AF.∴CD＝BF.

7．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.(1)求证：BE＝CE；方法5补形法构造等腰三角形

证明：如图，延长AB，DE交于点F.∵AB∥CD，∴∠F＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F.∴AD＝AF.∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴DC＝BF.又∵∠DEC＝∠FEB，∴△DCE≌△FBE(AAS)．∴BE＝CE.

(2)求证：AE⊥DE；(3)求证：AE平分∠DAB.证明：由(1)知△DCE≌△FBE，AD＝AF，∴DE＝EF.∴AE⊥DE.∵DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAB.

8．如图，在△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF.方法6倍长中线法构造等腰三角形

证明：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG.∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，∴△ABD≌△GCD(SAS)．∴AB＝CG，∠G＝∠EAF.∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA.又∵∠EFA＝∠CFG，∴∠G＝∠GFC.∴CG＝CF.∴AB＝CF.

9．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC＋AD＝BC.方法7延长(或截取)法构造等腰三角形

【证法一】如图①，延长CA至点E，使EA＝AD，连接ED，则∠E＝∠ADE.∴∠BAC＝∠E＋∠ADE＝2∠E.∵∠BAC＝2∠B，∴∠E＝