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解答题规范专练(二)带电粒子在磁场中的运动

(限时45分钟)

1．如图1所示，M、N为加速电场的两极板，M板中心有一小孔Q，其正上方有一半径为R1＝R0的圆形磁场区域，圆心为O，磁场方向垂直纸面向外，另有一圆心也在O点外半径为R2＝eq\r(3)R0、内半径为R1＝R0的同心环形磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，区域边界与M板相切于Q点，磁感应强度大小均为B。一比荷为q/m带正电粒子从N板的P点由静止释放，经加速后通过小孔Q，垂直进入环形磁场区域。已知点P、Q、O在同一竖直线上，不计粒子的重力。

图1

(1)若加速电压为U1，求粒子刚进入环形磁场时的速率v0。

(2)要使粒子能进入中间的圆形磁场区域，加速电压U2应满足什么条件？

(3)在某加速电压下粒子进入圆形磁场区域，恰能水平通过圆心O，之后返回到出发点P，求粒子从Q孔进入磁场到第一次回到Q点所用的时间。

2．在真空室内取坐标系xOy，在x轴上方存在二个方向都垂直于纸面向外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ(如图2)，平行于x轴的直线aa′和bb′是区域的边界线，两个区域在y方向上的宽度都为d、在x方向上都足够长。Ⅰ区和Ⅱ区内分别充满磁感应强度为B和eq\f(2,3)B的匀强磁场，边界bb′上装有足够长的平面感光板。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，从坐标原点O以大小为v的速度沿y轴正方向射入Ⅰ区的磁场中。不计粒子的重力作用。

图2

(1)粒子射入的速度v大小满足什么条件时可使粒子只在Ⅰ区内运动而不会进入Ⅱ区？

(2)粒子射入的速度v大小满足什么条件时可使粒子击中bb′上的感光板？并求感光板可能被粒子击中的范围？

3．如图3所示，abcd构成一个边长为L的正方形区域，在ac连线的右下方存在场强大小为E、方向垂直于ad向上的匀强电场，在△abc区域内(含边界)存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在△abc区域外、ac连线的左上方存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，两磁场区域的磁感应强度大小相等。现有两个可视为质点、质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子同时从a点射出，粒子甲的初速度方向由a指向d，粒子乙的初速度方向由a指向c，当乙经b到达c点时，刚好与只在电场中运动的甲相遇。若空间为真空，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，忽略粒子运动对电、磁场产生的影响。求：

图3

(1)甲的初速率v甲和甲从a到c经历的时间t。

(2)乙的速率v乙和磁感应强度大小B满足的条件。

4．如图4甲所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷eq\f(q,m)＝1×106C/kg的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过eq\f(π,15)×10－5s后，电荷以v0＝1.5×104m/s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图乙所示规律周期性变化(图乙中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t＝0时刻)。计算结果可用π表示。

图3

(1)求O点与直线MN之间的电势差；

(2)求图乙中t＝eq\f(2π,3)×10－5s时刻电荷与O点的水平距离；

(3)如果在O点右方d＝67.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间。

图4

答案

1．解析：(1)粒子在匀强电场中，由动能定理得：

qU1＝eq\f(1,2)mv02①

解得：v0＝eq\r(\f(2qU1,m))②

(2)粒子刚好不进入中间圆形磁场的轨迹如图所示，设此时粒子在磁场中运动的旋转半径为r1，在Rt△QOO1中有：

r12＋R22＝(r1＋R1)2③

解得r1＝R0④

由Bqv＝eq\f(mv2,r1)⑤

得：r1＝eq\f(mv,Bq)

又由动能定理得：qU2＝eq\f(1,2)mv2⑥

联立④⑤⑥得：U2＝eq\f(B2R02q,2m)⑦

所以加速电压U2满足条件是：

U2eq\f(B2R02q,2m)⑧

(3)粒子的运动轨迹如图所示，由于O、O1、Q共线且竖直，又由于粒子在两磁场中的半径相同为r2，有

O2O1＝2O2Q＝2r2

由几何关系得∠QO2O1＝60°

故粒子从Q孔进入磁场到第一次回到Q点所用的时间为

t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)T＋\f(5,12)T))＝eq\f(7,6)T⑨

又T＝eq\f(2πm,Bq)⑩

由⑨⑩得t＝eq\f(7πm,3qB)?

答案：(1)eq\r(\f(2qU1,m))(2)U2＞eq\f(B2R02q,2m)(3)eq\f(7πm,3qB)

2．解析：(1)粒子在Ⅰ区内做匀速圆周运动，有

qvB＝meq\f(v2,r1)①

得粒子运动的轨道半径r1＝eq\f(mv,qB)②

粒子只在Ⅰ区内运动而不会进入Ⅱ区，则r