数值积分与求解.pptVIP

第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日MATLAB求解连续函数积分第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日引言我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式求定积分的值,Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：1Matlab求解连续函数积分第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日?(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了(2)还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分后其原函数F(x)为：第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日1.1定积分的Matlab符号计算例1由y=sinx，y=cosx,x=-1/2,x=3/2所围成的平面区域D.求平面区域D的面积S.解输入作函数图形的程序x=-1:0.001:2;F1=sin(x);F2=cos(x);plot(x,F1,b-,x,F2,g-),axis([-1,pi/4+1,-1.3,1.3]),xlabel(x),ylabel(y),title(y=sinx,y=cosx和x=-0.5及x=1.5所围成的平面区域的图形)运行后屏幕显示图形.求平面区域D的面积S.输入计算面积S的程序symsxf1=cos(x)-sin(x);f2=-f1;S1=int(f1,x,-0.5,pi/4);S2=int(f2,x,pi/4,1.5);S=S1+S2,Sj=double(S)运行后屏幕显示计算面积的值S及其近似值Sj如下S=2*2^(1/2)+sin(1/2)-cos(1/2)-sin(3/2)-cos(3/2)Sj=1.36203791318826坐标调整第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日1.2变限积分的Matlab符号计算例2已知,求F′(x)解：输入程序：symsxtF1=int(exp(t)*sin(2+sqrt(t^3)),x,0);F2=int(exp(t)*sin(2+sqrt(t^3)),0,x^2);Fi=F1+F2;dF=diff(Fi)运行后屏幕显示计算变限积分F(x)的导数.第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,因而的值也是未知的,称为f(x)在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法1.3数值求积方法第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日①梯形公式②矩形公式按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如分别取和则分别得到中矩形公式和梯形公式。第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日③Simpson公式矩形公式把[a,b]的中点处函数值作为平均高度f(?)的近似值而获得的一种数值积分方法。