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专题10计数原理、概率、随机变量及其分布

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（???）

A． B． C． D．0

二、填空题

2．在二项式的展开式中，的系数为．

3．已知随机变量X的分布为，则期望．

4．在的展开式中，项的系数为．

5．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种．

6．一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望.

7．小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望

8．已知，则；．

三、解答题

9．某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.

(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率

(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；

(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.

10．甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．

(1)求（用p表示）．

(2)若，求p．

(3)证明：对任意正整数m，．

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《专题10计数原理、概率、随机变量及其分布》参考答案

题号

1

答案

B

1．B

【分析】根据独立事件的概率公式可求.

【详解】因为相互独立，故，

故选：B.

2．

【分析】利用通项公式求解可得.

【详解】由通项公式，

令，得，

可得项的系数为.

故答案为：.

3．

【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.

【详解】由题设有.

故答案为：.

4．

【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.

【详解】展开式的通项公式为，

当时，，

即展开式中的系数为.

故答案为：

5．288

【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.

【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，

故有种排法.

故答案为：288

6．/

【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得.

【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3，

总的选取可能数为，

其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，

故，

：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），

选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，

其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，

故，

：三种不同球被取出，

由排列数可知事件的可能情有况种，

故，

所以

.

故答案为：.

法二：依题意，假设随机变量，其中：

其中，则，

由于球的对称性，易知所有相等，

则由期望的线性性质，得，

由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，

由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，

因此球至少被取出一次的概率为：，

故，

所以.

故答案为：.

7．

【分析】先