多元复合函数求导法和隐函数求导公式.pptxVIP

一元复合函数的求导法则：

复习

(1)

设函数

在点

处有偏导数,

在点

对x,y的偏导数存在,

且

而函数

在对应点

可微,

则复合函数

链导法则

(2)

§6.5多元复合函数求导法和隐函数求导公式

6.5.1多元复合函数的求导法则

若函数

都在点x处可导,

函数

在对应点

处可微,

则复合函数

在点x处可导,

且

全导数

特例1.

如果

而

则复合函数

的全导数

特例2.

注意

是在

对

求导数,

是在

中视

为常量,对

求偏导,

情形(1)

注意

是在

中视

为常量,对

求偏导,

是在

中视

为常量,对

求偏导,

则

链导法则可推广到三元及三元以上的函数.

说明

情形(2)

例2.

求

解

例1.

求

解

例3.设

求

解

例4.设

解

具有二阶连续偏导数,求

例5.设

解

令

则

6.5.2隐函数的求导公式

1.一个方程的情形

1.设方程

确定函数

,求

所以,

方程两边对x求导，得

或

例1.

设

求

解法1

令

则

于是

解法2

方程两边对x求导，得

解得

于是

例2.

设

求

及

解法1

令

解法2

方程两边对x求导，得

2.设方程

确定二元隐函数

求

方程两边对x求偏导，得

方程两边对y求偏导，得

例3.

设

求

解

另解:

方程两边对x求偏导，得

解得

方程两边对y求偏导，得

解得

例4.

设

,求

解

例5.

设

证明:

证明:

得证

2.方程组的情形

设

求

确定了隐函数:

方程两边对x求偏导,得

即

解方程组即得

例1.

设

求:

方程两边对x求偏导，得

即

时，

解

解方程组得

方程两边对y求导,得

即

当

时,

解方程组得

例2.

,求:

设

方程两边对z求导，得

解

即

当

时，

解方程组得