复习专题03常用三角公式与解三角形（原卷版）.docx

复习专题03常用三角公式与解三角形

知识点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1.两角和与差的正弦公式

（1）公式中的、都是任意角．

2.两角和与差的余弦公式

（4）在转化过程中，充分利用诿导公式，构造两角和与差的余较会式的结构形式，然后逆用分式求健。

3.两角和与差的正切公式

【答案】

【答案】D

故选：D

【答案】(1)7

(2)

（2）利用两角和的正切公式求解.

知识点2两角和与差的正切公式的常见变形

知识点3辅助角公式

1.公式形式

2.推导过程

这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦的三角比值与其他常数积的和收缩为一个三角比，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式．

知识点4二倍角公式

1.正弦公式：

2.余弦公式：

（2）在应用二倍角的正切公式时，要注意公式适用的范围，即公式有意义的条件。

3.正切公式：

知识点5半角公式

知识点6积化和差与和差化积公式

1.积化和差公式：

2.和差化积公式：

知识点7万能公式

知识点8三角形的面积公式

三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为

三角形常用面积公式

知识点9正弦定理

1.正弦定理

2.正弦定理的推广及常用变形公式

3.正弦定理的齐次结构

结构示例：

（1）整式齐次式

知识点10余弦定理

1.余弦定理

(1)正弦定理和余弦定理的选择:已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论，如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程,即可求出边，比较两种方法，采用余弦定理较简单

(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数，因此解题时需特别注意三角形三边长度应满足的基本条件

(3)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广

(4)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的!

（5）余弦定理不但适用于已知三边和已知两边及夹角的情况，也可以解决已知两边及其中一边对角的三角形求解问题

2.反三角符号的意义

等式

条件的取值范围

满足条件的角

3.用反三角符号表示角

方程

方程的解集

知识点11解三角形在实际问题中的应用

1.实际问题中的常用角

名称

定义

图示

基线

在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线

仰角

在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角

俯角

在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角

方向角

从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)

方位角

从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角

1测量距离问题的求解策略（1）确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解;若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解;（2）确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

2测量高度问题的求解策略（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角、方向(位)角是关键;（2）在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错;（3）注意山或塔垂直于地面或海平面把空间问题转化为平面问题.

3测量角度问题的求解策略

（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义;（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值;（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.

题型一、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦

题型二、用和、差角的余弦公式化简、求值

题型三、逆用和、差角的余弦公式化简、求值

题型四、用和、差角的正弦公式化简、求值

题型五、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦

(2)求.

题型六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值

A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

题型七、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切

题型八、用和、差角的正切公式化简、求值

例8（2425高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（???）

A．0 B．1 C．2 D．3

A．甲、乙都是真命题 B．只有甲是真命题

C．只有乙是真命题 D．甲、乙都不是真命题

题型九、二倍角的正弦公式

题型十、二倍角的余弦公式