江苏省南京市第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（含答案解析）.docx

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江苏省南京市第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（????）

A． B． C．1 D．4

2．数列，3，，15，的一个通项公式可以是（????）

A． B．

C． D．

3．曲线在处切线的斜率为（????）

A．4 B．2 C． D．

4．三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法种数为（????）

A．72 B．144 C．36 D．12

5．已知随机变量的分布列为

0

2

4

则（????）

A． B． C． D．

6．若圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（???）

A．2 B． C． D．4

8．已知，若，则的值为（????）

A．3 B．22 C．43 D．45

二、多选题

9．已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则（????）

A．当，独立时，

B．当，互斥时，

C．

D．.

10．已知函数，则有（????）

A．当时，在R上递增

B．当时，有3个零点

C．当时，关于对称

D．当时，有2个极值点

11．定义：当为奇数时，，当为偶数时，，，则称为“回旋数列”.若为“回旋数列”，,，设的前项和为，从中任意抽取两个数，设两个数之和大于0的概率为，则（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知为等差数列，且，则.

13．现有6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外两人每人得1本，则有种不同的分配方式.

14．在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是.

四、解答题

15．在的展开式中，已知前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)求展开式中二项式系数的最大值；

(2)求展开式中所有的有理项.

16．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同.

(1)从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率；

(2)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；

(3)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.

17．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)设过点的直线与相交于不同的两点，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

18．如图①，在中，分别是边的中点，现将沿着折起，使点到达点的位置，并连接，得到四棱锥，如图②，设平面平面.

(1)求证：；

(2)求证：平面平面；

(3)若点到平面的距离为，求平面与平面的夹角.

19．已知函数.

(1)当时，求的解集；

(2)若有极值，求实数的取值范围；

(3)设，若，求的最大值.

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《江苏省南京市第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

D

B

B

D

D

C

ABD

AC

题号

11

答案

ACD

1．B

【分析】由已知可得，即，计算即可得出结果.

【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，

且直线平面，所以，

所以，解得.

故选：B.

2．A

【分析】利用数列正负交替及数的规律即可确定数列通项公式

【详解】数列各项正?负交替，故可用来调节，

又，

所以通项公式为

故选：A.

3．D

【分析】由导数知识可得，据此结合题意可得答案.

【详解】因为，所以曲线在处切线的斜率为.

故选：D

4．B

【分析】根据题意利用插空法进行排列，先排三位老师，再将三位学生插进老师形成的四个空中，即可求解.

【详解】解：因为要求任何两位学生不站在一起，

所以可以采用插空法，

先排3位老师，有种结果，

再使三位学生在教师形成的4个空上排列，有种结果，

根据分步计数原理知共有种结果.

故选：B.

【点睛】本题考查排列组合的综合