2024-2025学年湖南省邵阳市高一上学期拔尖创新班第一次联考数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期拔尖创新班

第一次联考数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.

1.已知复数（i为虚数单位），则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为，所以.

故选：D.

2.某校高一年级有1200名学生，其中男生700名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为72的样本，则应抽取的女生人数是（）

A.20 B.30 C.40 D.50

【答案】B

【解析】设应抽取的女生人数是，所以，计算得.

故选：B.

3.数据53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位数是（）

A.67 B.42 C.62 D.78

【答案】D

【解析】这组数据共9个数，从小到大排列是12，32，42，53，62，67，78，90，98，

，所以第三四分位数是第7个数，即.

故选：D.

4.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】因为，所以，即，

所以，

向量在向量上的投影向量是.

故选：B.

5.已知集合，．若，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】，

，

①当时，，满足，符合题意；

②当时，，即得，

此时，

由，则或，解得；

综上所述，所求即为.

故选：D.

6.若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】，，

又的最小值为16，

，

当且仅当，即时，等号成立，即取到最小值16．

所以，即．

若，显然的最小值为16．

故选：A．

7.已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为，，设，

则，即，解得，

建立平面直角坐标系，如图所示．

设，，，

则，，，，，

因为，所以，

则，

所以的最大值为．

故选：C．

8.已知函数是定义在上的奇函数，，且，有成立．设，，，则的大小关系为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】不妨令，则由得：，

，

设，在上单调递减，

，又为奇函数，

，

，，

又，，即

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面，，，则下列结论正确的是（）

A.若，，则

B.若，，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

【答案】BC

【解析】若，，此时有可能在平面内，并不一定，所以A选项错误.

因为，，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，

那么它也垂直于另一个平面，可得.

又因为，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以，B选项正确.

设，，在平面内作直线，因为，则.

在平面内作直线，因为，则.

那么，，，所以.

又，，所以，从而，C选项正确.

仅由，，，无法得出，与可能平行，

也可能相交，所以D选项错误.

故选：BC.

10.某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（）

A.事件A和事件B是对立事件 B.事件A和事件C是对立事件

C. D.

【答案】BC

【解析】因为表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，A错误．

事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥且和事件为全集，事件A和事件C是对立事件，B正确．

又因为，所以，C选项正确．

，D选项错误．

故选：BC．

11.已知函数，则下列结论正确的是（）

A.直线为函数的图象的一条对称轴

B.函数在上单调递增

C.函数在上单调递增

D.，

【答案】ABD

【解析】对于A，因为，

所以

，故A对；

对于B，又易知在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递减，

由复合函数的单调性可知在上单调递增，故B对；

对于C，易知，，不能满足，故C错；

对于D，易知，计算可得，，

结合B选项的单调性可得，使得，故D对．

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的标准差为__________．

【答案】

【解析】因