2024-2025学年湖南省湘潭市高一上学期期末考试数学试卷 （解析版）.docx

高级中学名校试卷

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湖南省湘潭市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由，则．

故选：C.

2.函数的定义域是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】依题意，解得或或，

所以原函数定义域为.

故选：B.

3.下列函数是偶函数的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】均是奇函数，是偶函数．

故选：B.

4.已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意得，因为，所以，

即不等式的解集为．

故选：C.

5.“”是“关于的不等式有解”的（）

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件

【答案】D

【解析】若关于的不等式有解，则，得．

由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，

所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件．

故选：D.

6.已知，则的大小关系是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】因为，所以．

故选：D.

7.如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（）

A.平方米 B.平方米 C.平方米 D.平方米

【答案】A

【解析】如图，连接．因为是弧的中点，所以，米．

因为，所以，所以，

所以是等边三角形，则．

因为米，所以米，米，

则该扇形菜地的面积是平方米．

故选：A.

8.已知，则的最小值为（）

A.5 B.4

C.3 D.2

【答案】C

【解析】由题意得，则，

当且仅当，即时，等号成立．

故的最小值为3．

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知角的终边经过点，则（）

A. B.

C. D.

【答案】BCD

【解析】由题意得，

所以．

故选：BCD.

10.已知函数的部分图象如图所示，则（）

A.

B.

C

D.将图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象

【答案】AB

【解析】由图可知，由，得，则，A，B正确．

因为，所以，

得，又，所以，C错误．

由题意得，D错误．

故选：AB.

11.已知函数，则下列结论正确的是（）

A.若，则

B.若在上单调递增，则的值可以为

C.存在，使得在上单调递减

D.若的值域为，则的取值范围为

【答案】ABD

【解析】由题意得，得，得，A正确．

若在上单调递增，则，解得，B正确．

若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误．

若的值域为，则，得在上单调递增．

当时，在上单调递增，则，

得，即．

当时，在上单调递减，在上单调递增，

则，得恒成立，即．

综上，的取值范围为，D正确．

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.的值为__________．

【答案】

【解析】．

13.已知函数则__________．

【答案】

【解析】因为，所以．

14.如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为__________时，总运费最低．

【答案】

【解析】设当地到地距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为．

由题意得，

则总运费，

要使总费用最低，只需最小即可．

设，则，

得，则，得．

当时，总费用最低，则，得，

所以当地到地的距离为时，总运费最低．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（1）求值：（为正数）．

（2）若，且，求的值．

解：（1）.

（2）依题意，，

由，得，则，即，

所以．

16.已知.

（1）求的值；

（2）求的值．

解：（1）由，

得，所以.

（2）.

17.已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）求在上的值域；

（3）若函数在上的零点个数为2，求的取值范围．

解：（1）．

由，得，

所以的单调递增区间为．

（2）令，由，得，则．

由正弦函数的性质可知在上单调递增，在上