胡不归模型精讲——冲刺2024年中考几何专项复习(全国通用)(解析版).pdfVIP

胡不归模型知识精讲

【知识梳理】

1.特殊角的三角函数值：

锐角30°45°60°

1

2.点到线间垂线段最短

如图所示，点P到直线l的所有连线中，PA的长度最短（直角三角形中，斜边永远大于直角边）.

【模型讲解】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了两

点之间线段最短，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，

老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着胡不归？胡不归？

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样

的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，

由可得，提取一个得，

若想总的时间最少，就要使得最小，

如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，

作DG⊥AE于点G，则，

将转化为DG＋DB，

再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值

为BH，

，

综上，所需时间的最小值为，

少年想要尽快回家，应沿着驿道到达点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.

【胡不归模型通解】

1.第一步：将所求的线段和改写成的形式；

第二步：构造一个角，使得；

第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；

第四步：计算.

2.型如“”的两定一动型最值问题的解法，：（其中A、B为定点，P为动点，m、n为常数）；

①若m、n均不为1，则提取较大系数，将其中一个系数先化为1；

②借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；

③利用“垂线段最短”原理即可解题.

【经典例题】

例1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一个动点，

1

连接PB，则+的最小值为．

2

解：如图，过点A作直线AE，使∠CAE＝15°，作PQ⊥AE于点Q，作BQ⊥AE于点Q，

∵AB＝AC，∠CAB＝30°，AD⊥BC，

∴∠CAD＝∠BAD＝15°，

∵∠CAE＝15°，

∴∠PAQ＝∠CAD+∠CAE＝30°，∠BAQ＝∠BAC+∠CAE＝45°，

又∵PQ⊥AE，BQ⊥AE，AB＝4，

1√2√2

∴PQ=PA，BQ=AB=×4＝22，

√

222

∵PB+PQ≥BQ，

∴当PB+PQ＝BQ时值最小，

1

即PA+PB的最小值为22．

√

2

故答案为：22．

√

例2：在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点M从点D运动到点C，运动速度为5个单位长度每秒，同时点

N从B出发向点A运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，

3

则DN+AM的最小值．

5

解：延长CB到E，使BE＝3，连接NE，DE，

∵AD＝5，

3

∴