专题02 绝对值五种考法-原卷版【2025数学常考压轴题上册七年级沪科版】.docxVIP

专题02绝对值五种考法

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲解 2

类型一、求一个数的绝对值 2

类型二、化简绝对值 2

类型三、绝对值方程 3

类型四、绝对值数形结合 3

类型五、绝对值分类讨论…………………………...5

压轴能力测评 7

1.绝对值的意义

绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作．

2.绝对值的性质

绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：．

互为相反数的两个数绝对值相等．

3.绝对值与数的大小

正数大于0，0大于负数．

理解：绝对值是指距离原点的距离．

所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大．

绝对值的非负性

绝对值的非负性：|a|≥0，

若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0.

类型一、求一个数的绝对值

1.正数大于0，0大于负数．

2.理解：绝对值是指距离原点的距离．

所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大．

例．如果，那么；如果，那么．

【变式训练1】．已知，则a的绝对值为．

【变式训练2】．若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=．

【变式训练3】．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思请你仔细阅读并补全小聪的探究过程．

[典例再现]|3|＝3，|﹣3|＝3，22＝4，（﹣2）2＝4；

[总结归纳]

（1）观察上述例题，发现结论：

①互为相反数的两个数的绝对值；

②；

[知识应用]

（2）已知|x|＝7，y2＝9，则x＝，y＝，若x＜y，则x﹣y＝．

类型二、化简绝对值

绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：．

互为相反数的两个数绝对值相等．

例．如图，若实数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简．

【变式训练1】．若，；若，；

①若，则；

②若，则．

【变式训练2】．已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是．

【变式训练3】．规定：，，例如，，则式子的最小值是．

类型三、绝对值方程

绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：．

互为相反数的两个数绝对值相等．

例．若，则．

【变式训练1】．已知，且，，则的值为．

【变式训练2】．如果，那么a的值为．

【变式训练3】．数轴上表示1和的两点之间的距离是；若，则x=

类型四、绝对值数形结合

零点分段法步骤：

求零点；

分段；在各区段内分别进行化简；

将各区段内的情况综合起来，得到答案。

例．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）．

同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）．

以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答：

任务一：

请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离；

任务二：

根据绝对值的意义求字母的值：

（1）若，求x所表示的有理数．

根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______．

（2）若，求x所表示的有理数．

根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______．

任务三：

设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题：

（1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？

（2）若，求x所表示的有理数；

（3）若，求x所表示的有理数．

【变式训练1】．先阅读，后探究相关的问题：

【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

(1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为；如果，那么为_____；

(2)若点表示的数为，则当为时，与的值相等；

(3)若数轴