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陕西省西安市西北工业大学附属中学2024?2025学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1.若复数,在复平面内对应的点关于轴对称,且,则复数(????)
A.1 B. C.i D.
2.已知平面向量,,且,则(???)
A.5 B. C. D.
3.已知等比数列的首项为1,若,,成等差数列,则数列的前5项和为(????)
A. B.2
C. D.
4.若为等差数列的前项和,且,则数列的公差(????)
A. B. C. D.
5.已知的三个角的对边分别是,若,,则(???)
A. B. C. D.
6.平面直角坐标系中,等边的边长为,M为BC中点,B,C分别在射线,上运动,记M的轨迹为,则(????)
A.为部分圆 B.为部分线段
C.为部分抛物线 D.为部分椭圆
7.嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列,依此类推,其中.则(????)
A. B. C. D.
8.如图,已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,交轴于点.若,是线段的三等分点,则的周长为(????)
A.20 B.10 C. D.
9.已知物体的运动方程是(表示时间,表示位移),则瞬时速度为0的时刻是
A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒
C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒
二、多选题
10.已知点是左、右焦点为,的椭圆:上的动点,则(????)
A.若,则的面积为
B.使为直角三角形的点有6个
C.的最大值为
D.若,则的最大、最小值分别为和
11.已知函数,则(????)
A.在上单调递增 B.在上单调递增
C. D.
三、填空题
12.已知数列满足,,则数列的第2024项为.
13.如图,已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2,且二面角的大小为,则.
??
14.已知方程在上有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是.
四、解答题
15.已知函数,且.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极值.
16.如图,在三棱柱中,,,,.
(1)证明:平面平面.
(2)求二面角的正弦值.
17.已知数列中,,满足.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)设为数列的前项和,若不等式对任意正整数恒成立,求实数的取值范围.
18.已知在直角坐标系中,动点到点的距离和它到直线的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过点的直线与交于两点,连接延长与分别交于两点,
①求面积的最小值;
②求证:直线恒过定点.
19.已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,证明:.
参考答案
1.【答案】C
【分析】由题意求得,利用复数除法即可.
【详解】因为,且复数,在复平面内对应的点关于轴对称,
所以,
所以,
故选C.
2.【答案】B
【详解】.因为,所以,解得.
故选B.
3.【答案】C
【详解】解:设的公比为,
因为,,成等差数列,所以,即,
所以,
所以.
所以,
因为,
所以是首项为1,公比为的等比数列,
所以.
故选C.
4.【答案】C
【详解】由题意可得,,解得.
故选C.
5.【答案】D
【详解】因为,,所以,
因为,所以,所以,即,
又,得,
所以.
故选D.
6.【答案】D
【详解】如图,
由题意不妨设,则,
而,即,
又,
所以,即,
因为,所以,即为部分椭圆.
故选D.
7.【答案】B
【详解】解:,2,,可以取,
则,
,
,
,
,
,
,
,
,故A错误;,故D错误;,故C错误;,故B正确.
故选B.
8.【答案】D
【详解】不妨设点在第一象限,,分别为椭圆的左右两焦点,令椭圆半焦距为c,
由,是线段的三等分点,得是线段的中点,而坐标原点是的中点,
则,轴,把代入椭圆方程,得,而,则,
由为线段的中点,得,因此,
解得,而,于是,
所以的周长为.
故选D
9.【答案】D
【详解】因为物体的运动方程为,则可知,
令得t=0或t=4或t=8,
故选D
10.【答案】BCD
【详解】如图,A选项:因为椭圆方程,所以,,所以,
所以的面积为,故A错误;
B选项:当或时为直角三角形,这样的点有4个,
设椭圆的上下顶点分别为,,则,同理,
知,所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形,
其他位置不满足,所以满足条件的点有6个,故B正确;
C选项:由于,
所以当最小即时,取得最大值,故C正确;
D选项:因为,
又,则的最大、最小值分别为和,
当点位于直线与椭圆的交点时取等号,故D正确.
故选BCD.
11.【答案】AD
【详解】,因为,所以,即在上单调递增,故正确;
,因为在上单调递增,,所以,
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