陕西省西安市西北工业大学附属中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题(含解析).docx

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陕西省西安市西北工业大学附属中学2024?2025学年高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1.若复数,在复平面内对应的点关于轴对称,且,则复数(????)

A.1 B. C.i D.

2.已知平面向量,,且,则(???)

A.5 B. C. D.

3.已知等比数列的首项为1,若,,成等差数列,则数列的前5项和为(????)

A. B.2

C. D.

4.若为等差数列的前项和,且,则数列的公差(????)

A. B. C. D.

5.已知的三个角的对边分别是,若,,则(???)

A. B. C. D.

6.平面直角坐标系中,等边的边长为,M为BC中点,B,C分别在射线,上运动,记M的轨迹为,则(????)

A.为部分圆 B.为部分线段

C.为部分抛物线 D.为部分椭圆

7.嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列,依此类推,其中.则(????)

A. B. C. D.

8.如图,已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,交轴于点.若,是线段的三等分点,则的周长为(????)

A.20 B.10 C. D.

9.已知物体的运动方程是(表示时间,表示位移),则瞬时速度为0的时刻是

A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒

C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒

二、多选题

10.已知点是左、右焦点为,的椭圆:上的动点,则(????)

A.若,则的面积为

B.使为直角三角形的点有6个

C.的最大值为

D.若,则的最大、最小值分别为和

11.已知函数,则(????)

A.在上单调递增 B.在上单调递增

C. D.

三、填空题

12.已知数列满足,,则数列的第2024项为.

13.如图,已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2,且二面角的大小为,则.

??

14.已知方程在上有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是.

四、解答题

15.已知函数,且.

(1)求曲线在点处的切线方程;

(2)求函数的极值.

16.如图,在三棱柱中,,,,.

(1)证明:平面平面.

(2)求二面角的正弦值.

17.已知数列中,,满足.

(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;

(2)设为数列的前项和,若不等式对任意正整数恒成立,求实数的取值范围.

18.已知在直角坐标系中,动点到点的距离和它到直线的距离相等.

(1)求动点的轨迹方程;

(2)过点的直线与交于两点,连接延长与分别交于两点,

①求面积的最小值;

②求证:直线恒过定点.

19.已知函数.

(1)当时,求的单调区间;

(2)当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围;

(3)若,证明:.

参考答案

1.【答案】C

【分析】由题意求得,利用复数除法即可.

【详解】因为,且复数,在复平面内对应的点关于轴对称,

所以,

所以,

故选C.

2.【答案】B

【详解】.因为,所以,解得.

故选B.

3.【答案】C

【详解】解:设的公比为,

因为,,成等差数列,所以,即,

所以,

所以.

所以,

因为,

所以是首项为1,公比为的等比数列,

所以.

故选C.

4.【答案】C

【详解】由题意可得,,解得.

故选C.

5.【答案】D

【详解】因为,,所以,

因为,所以,所以,即,

又,得,

所以.

故选D.

6.【答案】D

【详解】如图,

由题意不妨设,则,

而,即,

又,

所以,即,

因为,所以,即为部分椭圆.

故选D.

7.【答案】B

【详解】解:,2,,可以取,

则,

,故A错误;,故D错误;,故C错误;,故B正确.

故选B.

8.【答案】D

【详解】不妨设点在第一象限,,分别为椭圆的左右两焦点,令椭圆半焦距为c,

由,是线段的三等分点,得是线段的中点,而坐标原点是的中点,

则,轴,把代入椭圆方程,得,而,则,

由为线段的中点,得,因此,

解得,而,于是,

所以的周长为.

故选D

9.【答案】D

【详解】因为物体的运动方程为,则可知,

令得t=0或t=4或t=8,

故选D

10.【答案】BCD

【详解】如图,A选项:因为椭圆方程,所以,,所以,

所以的面积为,故A错误;

B选项:当或时为直角三角形,这样的点有4个,

设椭圆的上下顶点分别为,,则,同理,

知,所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形,

其他位置不满足,所以满足条件的点有6个,故B正确;

C选项:由于,

所以当最小即时,取得最大值,故C正确;

D选项:因为,

又,则的最大、最小值分别为和,

当点位于直线与椭圆的交点时取等号,故D正确.

故选BCD.

11.【答案】AD

【详解】,因为,所以,即在上单调递增,故正确;

,因为在上单调递增,,所以,

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