湖北省云学名校联盟2024−2025学年高二下学期4月期中联考 数学试题（含解析）.docx

湖北省云学名校联盟2024?2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．记等差数列的前项和为.若，，则（????）

A． B． C． D．

2．下列有关排列数?组合数的计算，正确的是（????）

A． B．

C． D．

3．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（????）

A． B． C． D．

4．若的展开式中的系数为，则（????）

A． B． C． D．

5．“灵秀湖北梦，大道武当山”，年“五一”长假来临之际，甲?乙?丙?丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客，一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览，如果在5月1日上午8：00~9：00之间，他们每人只能去一个地方，金顶一定有人去，则不同游览方案的种数为（????）

A． B． C． D．

6．已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

7．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

8．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（????）

A． B．

C． D．数列的通项公式为

二、多选题（本大题共3小题）

9．近些年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2025年到2029年间，有93%的概率平均气温会超过2020年，达到历史上最高气温纪录.某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中6名男生4名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则下列说法正确的是（????）

A．选取的4名学生都是男生的不同选法共有15种

B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有360种

C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有195种

D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种

10．设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C．的最大值为 D．没有最大值

11．已知函数，对于不相等的实数设，，现有如下四个结论，其中正确的选项是（????）

A．对于任意不相等的实数都有

B．当时，函数恰有3个零点

C．对于任意的实数，存在不相等的实数，使得

D．对于任意不相等的正实数，都有

三、填空题（本大题共3小题）

12．函数f(x)＝x＋xlnx在(1，1)处的切线方程为.

13．化简.

14．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上第一象限内的动点，设，当时，；当时，则.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知函数.

(1)当时，数列满足，记数列前项和为，则当取得最小值时，求的值；

(2)当时，数列满足，，若数列是公差的等差数列，求的值.

16．已知函数.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若函数在上的最小值为，求实数的值.

17．已知数列满足，数列满足.

(1)求数列的前项和；

(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

18．已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.

??

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线，的斜率分别为，当时，

①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；

②求的最小值.

19．已知函数.

(1)若恒成立，求实数的值；

(2)当时，方程有两个不同的根，分别为.

①求实数的取值范围；

②求证：.

参考答案

1．【答案】A

【详解】由题知．

故选A．

2．【答案】D

【详解】对于A，∵，∴A不正确；

对于B，，，故B不正确；

对于C，由组合数性质可得，故C不正确；

对于D，由组合数性质可知，故D正确．

故选D．

3．【答案】C

【详解】根据全概率公式可得:

.

故选C．

4．【答案】B

【详解】因为展开式的通项公式为，

令，得；令，得．

所以的展开式中的系数为，解得．

故选B．

5．【答案】B

【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在8:00~9:00去金顶、太子坡、南岩宫游玩，

且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则5人一共有种情况，

若金顶没人去，即五位同学选择了太子坡、南岩宫，

每人有2种选择方法，则5人一共有种情况，

故金顶一定要有人去有种情况．

故选B．

6．【答案】D

【详解】设抛物线的焦点