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湖北省云学名校联盟2024?2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单选题(本大题共8小题)
1.记等差数列的前项和为.若,,则(????)
A. B. C. D.
2.下列有关排列数?组合数的计算,正确的是(????)
A. B.
C. D.
3.某学校为弘扬中华民族传统文化,举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分,得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是:高一年级优秀率约是,高二年级优秀率约是,高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为,那么全校“优秀率”约是(????)
A. B. C. D.
4.若的展开式中的系数为,则(????)
A. B. C. D.
5.“灵秀湖北梦,大道武当山”,年“五一”长假来临之际,甲?乙?丙?丁、戊五位同学决定一起游览“祈福圣地”——武当山.到武当山的顾客,一般都会选择金顶、太子坡、南岩宫这三个地方游览,如果在5月1日上午8:00~9:00之间,他们每人只能去一个地方,金顶一定有人去,则不同游览方案的种数为(????)
A. B. C. D.
6.已知抛物线的准线为,直线,动点在上运动,记点到直线与的距离分别为,则的最小值为(????)
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为,,其导函数满足,则不等式的解集为(????)
A. B.
C. D.
8.定义:在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新数列,这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”,第一次得到数列;第二次得到数列;,设第次“美好成长”后得到的数列为,记,则下列说法错误的是(????)
A. B.
C. D.数列的通项公式为
二、多选题(本大题共3小题)
9.近些年在全世界范围内,气温升高是十分显著的,世界气象组织预测2025年到2029年间,有93%的概率平均气温会超过2020年,达到历史上最高气温纪录.某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会,现有10名学生,其中6名男生4名女生,若从中选取4名学生参加研讨会,则下列说法正确的是(????)
A.选取的4名学生都是男生的不同选法共有15种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有360种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有195种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
10.设正项等比数列的公比为,前项和为,前项的积为,并且满足,,,则下列结论正确的是(????)
A. B.
C.的最大值为 D.没有最大值
11.已知函数,对于不相等的实数设,,现有如下四个结论,其中正确的选项是(????)
A.对于任意不相等的实数都有
B.当时,函数恰有3个零点
C.对于任意的实数,存在不相等的实数,使得
D.对于任意不相等的正实数,都有
三、填空题(本大题共3小题)
12.函数f(x)=x+xlnx在(1,1)处的切线方程为.
13.化简.
14.已知双曲线的左右顶点分别为,点是双曲线上第一象限内的动点,设,当时,;当时,则.
四、解答题(本大题共5小题)
15.已知函数.
(1)当时,数列满足,记数列前项和为,则当取得最小值时,求的值;
(2)当时,数列满足,,若数列是公差的等差数列,求的值.
16.已知函数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)若函数在上的最小值为,求实数的值.
17.已知数列满足,数列满足.
(1)求数列的前项和;
(2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
18.已知,两点在椭圆上,直线交椭圆于两点(均不与点重合),过作直线的垂线,垂足为.
??
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线,的斜率分别为,当时,
①求证:直线恒过定点,并求出定点坐标;
②求的最小值.
19.已知函数.
(1)若恒成立,求实数的值;
(2)当时,方程有两个不同的根,分别为.
①求实数的取值范围;
②求证:.
参考答案
1.【答案】A
【详解】由题知.
故选A.
2.【答案】D
【详解】对于A,∵,∴A不正确;
对于B,,,故B不正确;
对于C,由组合数性质可得,故C不正确;
对于D,由组合数性质可知,故D正确.
故选D.
3.【答案】C
【详解】根据全概率公式可得:
.
故选C.
4.【答案】B
【详解】因为展开式的通项公式为,
令,得;令,得.
所以的展开式中的系数为,解得.
故选B.
5.【答案】B
【详解】根据题意,甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在8:00~9:00去金顶、太子坡、南岩宫游玩,
且每人只能去一个地方,则每人有3种选择,则5人一共有种情况,
若金顶没人去,即五位同学选择了太子坡、南岩宫,
每人有2种选择方法,则5人一共有种情况,
故金顶一定要有人去有种情况.
故选B.
6.【答案】D
【详解】设抛物线的焦点
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