湖南省长沙市南雅梅溪湖中学2024−2025学年高二下学期阶段性检测 数学试卷（含解析）.docx

湖南省长沙市南雅梅溪湖中学2024?2025学年高二下学期阶段性检测数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数（i为虚数单位），是的共轭复数，则的值为（????）

A．1 B． C． D．

3．直线与直线平行，则实数的值为（????）

A．2 B． C． D．2或

4．已知向量，满足，，则（????）

A． B． C．2 D．1

5．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（????）

A．37.5 B．38 C．39 D．40

6．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲?乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（????）

A．事件A和相等 B．事件A和互相对立

C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥

7．当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是

A． B． C． D．

8．已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（????）

A．2 B． C．2 D．4

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（????）

A． B．

C． D．直线，夹角的余弦值为

10．下列说法正确的是（????）

A．若，则

B．若abc，则

C．“”是无理数是“a是无理数”的充要条件

D．在中，“为直角三角形”的充要条件是“”

11．下列各组函数中，是相同函数的是（????）

A．与

B．与

C．与

D．与

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为．

13．已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为．

14．已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则三角形的面积为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知直线.

（1）求证：直线过定点；

（2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；

（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.

16．已知函数最小值为，周期为.

(1)求实数的值；

(2)当时，求函数的值域.

17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，，．

??

(1)求与所成角的大小；

(2)求与平而所成角的正弦值．

18．在中，内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求角；

(2)若，且，求的面积．

19．杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办，某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品，生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，，若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．

(1)求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式；

(2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？

参考答案

1．【答案】C

【详解】由，得，解得，

所以.

所以.

故选C.

2．【答案】B

【详解】因为复数，

所以，.

故选B.

3．【答案】C

【详解】当直线与直线不相交时，，解得，

当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去；

当时，直线，即与直线平行，

所以实数的值为.

故选C

4．【答案】C

【详解】因为向量，满足，

所以，，

又因为，

故，

所以.

故选C.

5．【答案】C

【分析】由百分位数的概念求解．

【详解】数据按从小到大排序为，

而，故第75百分位数为.

故选C.

6．【答案】D

【详解】用每次取球的结果，分别表示甲?乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号，

由题意可知：样本空间；

事件；事件，；

对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误；

对于选项BD：因为事件，

所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确；

对于选项C：因为，

则，

显然，所以事件A和不相互独立，故C错误；

故选D.

7．【答案】B

【详解】以为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BP与AD1所成角的取值范围．

【详解】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则，

，，

故，

对于函数，有：

，，

故，又，

故.故选.

8．【答案】B

【详解】如图所示：

不妨设，，（，），，

则可知，，

两式相除可得，所以，

又，所以，

可得（，），

由椭圆的定义，得（当