2025年中考数学几何模型归纳训练专题44 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）.docxVIP

专题44.圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。

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模型1.米勒最大张角（视角）模型 1

模型2.定角定高模型（探照灯模型） 8

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模型1.米勒最大张角（视角）模型

已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

在三角形AC’D中，

又

常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

例1．（2024·河南濮阳·一模）如图，三位同学站在以足球门AB为弦的圆上踢足球，点都在圆上，小明站在点，小强站在点，小宁站在点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（?????）

A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大

C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大

例2．（2022·广西·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米．

??

例3．（2023·广东广州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，C为x轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点．当取最大值时，点C的横坐标为（????）

??

A．5 B．2 C．21 D．

例4．（2024·江苏南京·一模）数学的思考：如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标．

数学的眼光(1)如图，请说明；

数学的表达(2)如图，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程；

(3)如图，延长线段交轴于点，连接，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程；(4)如图，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．

例5．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与轴交于点A?2,0、B4,0，且经过点．

(1)求抛物线的表达式；(2)在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积；(3)点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标．

模型2.定角定高模型（探照灯模型）

定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。

条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。

结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。

证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，

过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=；

∴BC=2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。

∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立），

∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值；

∴，当取等号时BC有最小值；

∴，当取等号时△ABC有最小值；

∴，当取等号时△ABC有最小值。

例1．（23-