2025年中考数学几何模型归纳训练专题45 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）解读与提分精练（全国通用）（解析版）.docxVIP

专题45.圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）

在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。

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模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 1

模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 4

模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 7

模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 10

模型5、遇90°的圆周角连直径 12

模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15

模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 17

模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 20

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模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）

已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题

例1．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：连接，∵，∴，∴，故选：．

例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：连接，，

∵，∴，∵，∴，∴∴，

??

在中，，∴，

又，∵∴，∴的长度为，

例3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：如图，连接，∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，

∴，，设拱门所在圆的半径为，∴，而，

∴，∴，解得：，∴拱门所在圆的半径为；故选B

例4．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】连接,∵,∴∴,

∵,∴是等边三角形,∴,

??

∵，,∴,，∴,

∵,，

，即的半径为，故选:.

模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）

已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。

在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。

例1．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于cm．

??

【答案】10

【详解】由题意得：，，

如图，连接，过点作，交于点，交于点，则，

??

餐盘与边相切，点为切点，四边形是矩形，

，，，四边形是矩形，，

，，，

设餐盘的半径为，则，，

在中，由勾股定理得：，

即，解得：，餐盘的半径为，故答案为：10．

例2．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为．

??

【答案】

【详解】解：如图，连接，过点作于点，

??

，，

，，，

∵圆的半径为7，，，

，故答案为：．

例3．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：过点作于，则，，

∵圆的直径为米，∴，∴在中，，

∵，∴为等边三角形，∴，

∴淤泥横截面的面积，故选：．

例4．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留）

【答案】

【详解】解：如图所示：过点C作，

∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，∴，∴为等边三角形，

∵圆心C恰好