2025年中考数学几何模型归纳训练专题38 最值模型之瓜豆模型（原理）曲线解读与提分精练（全国通用）（解析版）.docxVIP

专题38最值模型之瓜豆模型（原理）曲线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1

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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）

“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。

模型1、运动轨迹为圆弧

模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？

分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-3.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。

此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。

分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。

（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

（2）定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．

如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．

如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

例1.（2024·河南南阳·三模）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（????）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3

【答案】A

【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小值，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案．

【详解】解：如图，连接交于，连接，

∵，，∴，，∴，

，

∵点是的中点，∴，∴是的中位线，∴，

∴当最小值，最小，∴当运动到时，最小，此时也为最小，

∵，∴的最小值为，故选：A．

例2．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线的最小距离为（）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】先确定点的轨迹是，则C到直线的最小距离为，根据相似得到边长的数量关系，列方程直接求解即可．

【详解】解：连接，如图，

∵点C为弦的中点，∴，∴，∴点C在以为直径的圆上（点O、A除外），

以为直径作，过P点作直线于H，交于M、N，

当时，，则，当时，，解得，则，

∴，∴，∵的半径为2，∴，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，

即，解得，∴，．

∴点C到直线的最小距离为．故选：C．

【点睛】此题考查圆与三角形的综合，解题关键是先确定点的轨迹是圆，则C到直线的最小距离为，根据相似列方程直接求解即可．

例3．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的