2025年中考数学几何模型归纳训练专题43 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（解析版）.pdfVIP

专题43圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆罗摩笈多（定理）模型

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方

便掌握。

1

模型1.阿基米德折弦模型1

模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型9

13

模型1.阿基米德折弦模型

折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。



条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BCAB，M是ABC的中点，则

从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CDAB+BD。

图1图2图3图4

1MA，MB，MC

证明：法（垂线法）：如图，过点作射线，垂足为点，连接，；

2MMHABHAC



∵M是ABC的中点，∴MAMC．∵MHAH，MDBC，∴HCDM90．

AC△AHM≌△CDMAAS

又∵，∴，∴MHDM，AHCD．∵HBDM90，BMBM，

Rt△BMH≌Rt△BMDHL

∴．∴BHBD．∴CDAHABBHABBD．

法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC；



∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是ABC的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，

∵∠CMG＋∠MCG∠MGB∠MBG∠MAC∠MCA∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG∠ACB∠AMB，

=======

∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．

法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BFBA；连接MA、MB、MC、MF、AC，



∵M是ABC的中点，∴MAMC，∠MAC∠MCA，

==

∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC180°-∠MCA，，∴∠MBA∠MBF，

BFBA

在△MBF和△MBA中，MBFMBA，∴△MBF≌△MBA（SAS），∴MF=MA=MC，



BMBM



又∵MD⊥BC，∴FDCD，∴DCBFBDBABD；

==+=+

1．（2024·北京·校考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定

理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．

如图，△中，∠＝，＝，＝，是上一点，＝，作⊥交△的外接

2ABCABC60°AB10