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导数及其应用
1．已知函数f（x）＝x2﹣x+alnx（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x≥2时，证明：x3+2xlnx＞3ln（x+1）+x2．
2
2−+
（1）解：由题意知′()=2−1+=（x＞0），
2
记g（x）＝2x﹣x+a，
则△＝1﹣8a，（1分）
1
当△≤0，即≥时，g（x）≥0，所以f（x）≥0恒成立，
8
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．（3分）
11−1−81+1−8
＜＜=√=√
当△＞0，即0时，g（x）＝0有两个不相等的实根1，2．
844
令g（x）＞0，得0＜x＜x1或x＞x，此时f（x）单调递增；2
令g（x）＜0，得x1＜x＜x，此时f（x）单调递减．（5分）2
1
综上所述，当≥时，f（x）单调递增；
8
11−1−8
＜＜，√)上单调递增，
当0时，f（x）在区间(0
84
1−1−81+1−8
在区间(√，√)上单调递减，
44
1+1−8
√
在区间(，+∞)上单调递增．（6分）
4
（2）证明：记h（x）＝x﹣ln（x+1）（x≥2），
1
则ℎ′()=1−=（x≥2）．
+1+1
显然h（x）＞0，h（x）在区间[2，+∞）上单调递增，
所以当x≥2时，h（x）≥h（2）＝2﹣ln3＞2﹣lne＝0，即x＞ln（x+1）＞0．①2
由（1）知，当a＝2时，f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，
2＞
−+2≥(2)=2+222+2=3．②
所以()=√
由①②得x（x﹣x+2lnx）＞3ln（x+1），2
即x3+2xlnx＞3ln（x+1）+x2．（12分）
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