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导数及其应用

1．已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣lnx．

（1）求函数f（x）的最小值；

1

＞﹣ax﹣ax﹣ax

（2）若，证明：f（x）＞1﹣xe．（提示：（e）′＝﹣ae）

解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），

1

f′（x）＝a−，x＞0，a＞0，

1

＜

故0＜x时，f′（x）＜0，f（x）递减，

1

x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增，

1

故f（x）的最小值是f（）＝1+lna；

﹣ax

（2）证明：令g（x）＝f（x）+xe﹣1，

1(−1)(−)

﹣ax

则g′（x）＝a−−（ax﹣1）e=，

11

＞ax

由（1）得：当a时，f（）＞0，即ax﹣lnx＞0，故e＞x，

1

＜

故0＜x−时，g′（x）＜0，g（x）递减，

1

x＞时，g′（x）＞0，g（x）递增，

11

故g（x）的最小值是g（）＝lna+，

1

由（1）得a=时，f（x）≥0，故≥lnx，当且仅当x＝e时“＝”成立，

11111

＞＞=−lna，即lna+＞

故当a，x=时，有ln0，

故g（x）＞0，原不等式成立．

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