导数及其应用复习题及答案 (44).pdfVIP

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导数及其应用

1.已知函数f(x)=x2﹣2bx﹣lnx.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

1

(Ⅱ)设b≥0,若f(x)在x处有极值,求证:f(x)≤(1+ln2).

002

(Ⅰ)解:由题得f(x)的定义域为(0,+∞),

2

12−2−1

f′(x)=2x﹣2b−=,

√2

++2

由f′(x)>0,得x>;

2

√2

++2

由f′(x)<0,得0<x<,

2

22

所以函数f(x)在(0,+√+2)上单调递减,在(+√+2,+∞)上单调递增.

22

√2

++2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得,函数f(x)在x=2处取得极小值,

√2

++2

所以当x0=2时,极小值为f(x0),

2

2−2−1

因为f′(x0)=00=0,

0

所以2bx0=202−1,

因为b≥0,x0>0,

所以202−1≥0,可得x0≥√22,

2222

所以f(x0)=−2bx0+lnx=0−(2−1)﹣lnx0=−−lnx0+1,

0000

2√2

令函数g(x)=﹣x﹣lnx+1,x∈[,+∞),

2

1

则g′(x)=﹣2x−0,

√2

所以函数g(x)在[,+∞)上单调递减,

2

√21√211

所以g(x)≤g()=−−ln+1=+ln2,

22222

1

因此f(x0)≤2(1+ln2).

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