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导数及其应用
1.已知函数f(x)=x2﹣2bx﹣lnx.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
1
(Ⅱ)设b≥0,若f(x)在x处有极值,求证:f(x)≤(1+ln2).
002
(Ⅰ)解:由题得f(x)的定义域为(0,+∞),
2
12−2−1
f′(x)=2x﹣2b−=,
√2
++2
由f′(x)>0,得x>;
2
√2
++2
由f′(x)<0,得0<x<,
2
22
所以函数f(x)在(0,+√+2)上单调递减,在(+√+2,+∞)上单调递增.
22
√2
++2
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得,函数f(x)在x=2处取得极小值,
√2
++2
所以当x0=2时,极小值为f(x0),
2
2−2−1
因为f′(x0)=00=0,
0
所以2bx0=202−1,
因为b≥0,x0>0,
所以202−1≥0,可得x0≥√22,
2222
所以f(x0)=−2bx0+lnx=0−(2−1)﹣lnx0=−−lnx0+1,
0000
2√2
令函数g(x)=﹣x﹣lnx+1,x∈[,+∞),
2
1
<
则g′(x)=﹣2x−0,
√2
所以函数g(x)在[,+∞)上单调递减,
2
√21√211
所以g(x)≤g()=−−ln+1=+ln2,
22222
1
因此f(x0)≤2(1+ln2).
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